<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?><!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD with MathML3 v1.1 20151215//EN " "http://jats.nlm.nih.gov/publishing/1.1/JATS-journalpublishing1.dtd"><article xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" dtd-version="1.1" article-type="other"> <front> <journal-meta> <journal-id journal-id-type="doi">10.26360</journal-id> <journal-title-group> <journal-title>Anales del Instituto de Actuarios Españoles</journal-title> <abbrev-journal-title>Anales del IAE</abbrev-journal-title> </journal-title-group> <issn pub-type="ppub">0534-3232</issn> <issn pub-type="epub">2531-2308</issn> <publisher> <publisher-name>Instituto de Actuarios de España</publisher-name> <publisher-loc> <addr-line>C/ Victor Andres Belaunde, 36, Madrid, España</addr-line> </publisher-loc> </publisher> </journal-meta> <article-meta> <article-id pub-id-type="doi">10.26360/2026_01</article-id> <title-group> <article-title xml:lang="es">TARIFICACIÓN EN SEGUROS GENERALES CON INTRODUCCIÓN DE FRANQUICIAS NO CONSTANTES EN LA DISTRIBUCIÓN DEL COSTE DE LOS SINIESTROS</article-title> </title-group> <contrib-group> <contrib contrib-type="author" corresp="yes"> <name> <surname>Oliver Raboso</surname> <given-names>Julian Carlos</given-names> </name> <email xlink:href="joliver@actuarios.eu">joliver@actuarios.eu</email> </contrib> <aff id="aff1"> <institution>URJC, CUNEF Universidad, Universidad Pontificia de Comillas, UNED</institution> </aff> <contrib contrib-type="author"> <name> <surname>Ferri Vidal</surname> <given-names>Antonio</given-names> </name> <email xlink:href="antoni.ferri@actuarios.org">antoni.ferri@actuarios.org</email> </contrib> </contrib-group> <pub-date> <year>2026</year> </pub-date> <issue>32</issue> <fpage>1</fpage> <lpage>12</lpage> <abstract xml:lang="es"> <p>La teoría del riesgo colectivo establece que el cálculo de la prima pura en seguros generales se obtiene como el producto de los valores esperados de las variables aleatorias número de siniestros y coste de los siniestros que conforman la variable compuesta que genera el proceso de siniestralidad agregada. Este estimador para la prima pura es posible gracias a asumir la hipótesis de que el número de siniestros y el coste de los siniestros son variables aleatorias independientes y, que el coste de los siniestros, caso que este sea mayor a uno, son independientes entre sí e idénticamente distribuidos. Si se relaja la hipótesis de que las distribuciones del coste de los siniestros sean idénticas, el estimador para la prima pura cambiaría. A partir del nuevo modelo es posible encontrar aplicaciones actuariales para la tarificación aplicando franquicias estocásticas no necesariamente constantes que pueden ayudar a mejorar el proceso de tarificación.</p> </abstract> <kwd-group xml:lang="es"> <kwd>prima pura</kwd> <kwd>franquicia absoluta</kwd> <kwd>seguros generales</kwd> <kwd>distribuciones</kwd> </kwd-group> </article-meta> </front> <body> <sec id="tarificación-en-seguros-generales-con-introducción-de-franquicias-no-constantes-en-la-distribución-del-coste-de-los-siniestros"> <title>TARIFICACIÓN EN SEGUROS GENERALES CON INTRODUCCIÓN DE FRANQUICIAS NO CONSTANTES EN LA DISTRIBUCIÓN DEL COSTE DE LOS SINIESTROS</title> <p> <bold>PRICING IN GENERAL INSURANCE WITH NON-CONSTANT DEDUCTIBLES IN CLAIM COST DISTRIBUTIONS</bold> </p> <p> <bold>Julián Carlos Oliver Raboso</bold> </p> <p>Actuario consultor</p> <p>Universidad Rey Juan Carlos / Universidad Pontificia Comillas / CUNEF Universidad / UNED.</p> <p>ORCID: <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://orcid.org/0009-0002-3838-0451">https://orcid.org/0009-0002-3838-0451</ext-link></p> <p> <email>joliver@actuarios.eu</email> </p> <p>(Autor para correspondencia/Corresponding author)</p> <p> <bold>Antonio Ferri Vidal</bold> </p> <p>ORCID: <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://orcid.org/0009-0004-2497-4843">https://orcid.org/0009-0004-2497-4843</ext-link></p> <p> <email>antoni.ferri@actuarios.org</email> </p> <p>Fecha de recepción: 11 septiembre 2025</p> <p>Fecha de aceptación: 2 abril 2026</p> <p>RESUMEN</p> <p>La teoría del riesgo colectivo establece que el cálculo de la prima pura en seguros generales se obtiene como el producto de los valores esperados de las variables aleatorias número de siniestros y coste de los siniestros que conforman la variable compuesta que genera el proceso de siniestralidad agregada. Este estimador para la prima pura es posible gracias a asumir la hipótesis de que el número de siniestros y el coste de los siniestros son variables aleatorias independientes y, que el coste de los siniestros, caso que este sea mayor a uno, son independientes entre sí e idénticamente distribuidos. Si se relaja la hipótesis de que las distribuciones del coste de los siniestros sean idénticas, el estimador para la prima pura cambiaría. A partir del nuevo modelo es posible encontrar aplicaciones actuariales para la tarificación aplicando franquicias estocásticas no necesariamente constantes que pueden ayudar a mejorar el proceso de tarificación.</p> <p><bold>Palabras clave:</bold> prima pura, franquicia absoluta, seguros generales, distribuciones.</p> <p>The collective risk theory establishes that the calculation of the pure premium in general insurance is obtained as the product of the expected values of the random variables representing the number of claims and the cost of claims, which together constitute the compound variable generating the aggregate claims process. This estimator for the pure premium is feasible due to the assumption that the number of claims and the cost of claims are independent random variables, and that claim costs, when exceeding one claim, are mutually independent and identically distributed. If the assumption of identical distributions for claim costs is relaxed—that is, if claim costs are no longer assumed to be identically distributed—the estimator for the pure premium would change. From this new model, actuarial applications for pricing can be derived by incorporating stochastic deductibles, these deductibles can vary for each claim allowing more flexibility to the pricing process.</p> <p> risk premium, deductible, general insurance, basic distributions.</p> <sec id="introducción"> <title>INTRODUCCIÓN</title> <p>La teoría del riesgo colectivo establece que el cálculo de la prima pura en seguros generales se obtiene como el producto de los valores esperados de las variables aleatorias número de siniestros – discreta – y coste de los siniestros – continua – que conforman la variable compuesta que genera el proceso de siniestralidad agregada.</p> <p>Si se relaja la hipótesis de que las distribuciones del coste de los siniestros sean idénticas, el estimador para la prima pura cambiaría. A partir del nuevo modelo es posible encontrar aplicaciones actuariales para la tarificación aplicando franquicias estocásticas.</p> <p>La aplicación de franquicias en el cálculo de la prima pura genera tres efectos. El primero de ellos es un efecto psicológico en el asegurado que permite una concienciación de este al hacerle partícipe del coste del siniestro. El segundo efecto es una disminución del coste del siniestro a cargo del asegurador y consecuentemente del coste medio. Por último, la prima pura a pagar por el tomador del seguro es menor al disminuir el coste medio.</p> <p>Bajo la óptica de este trabajo, se debe entender la franquicia como cualquier truncamiento del dominio de la variable que representa el coste de los siniestros<xref ref-type="fn" rid="fn1">1</xref> a cargo del asegurador. De este modo pueden surgir tantas tipologías de franquicias como sea capaz la aseguradora de definir, y constituyen una herramienta de transferencia de riesgo al asegurado.</p> <p>Con todo, encontrar el equilibrio entre la reducción de ingresos por la reducción de prima y la reducción de la siniestralidad y/o coste medio puede chocar con la estrategia de negocio u otros objetivos.</p> <p>Una franquicia habitual es la denominada franquicia absoluta que trasfiere las primeras <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> unidades monetarias del coste de cada siniestro al asegurado, siendo el exceso de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> a cargo del asegurador.</p> <p>Este tipo de franquicia suele fijar la cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> para cada uno de los siniestros que sufra el asegurado en el periodo de cobertura, lo que no altera la condición de “idénticamente distribuidas” de las variables aleatorias que representan el coste de los siniestros; únicamente altera sus parámetros, sin embargo, todos de igual manera.</p> <p>Si la cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> deja de ser constante para cada siniestro acaecido en el periodo de cobertura la condición – “idénticamente distribuidas” – sobre las variables aleatorias que representa el coste de los siniestros y bajo la que se deriva la prima pura ya no se mantiene por lo que el estimador del producto de costes esperados ya no es útil y se requiere una ampliación a un caso más general.</p> </sec> <sec id="estado-del-arte"> <title>ESTADO DEL ARTE</title> <p>Existe diversa literatura actuarial relacionada con el tópico de la tarificación y la incidencia de las franquicias en la prima pura o de riesgo en el ámbito de los seguros generales. Los diversos trabajos abordan está problemática desde varias ópticas que abarcan desde los fundamentos matemáticos, hasta la medición del impacto de las franquicias en las primas, pasando por la aplicación de metodologías clásicas y más recientes.</p> <p>En este sentido, los trabajos de Vegas <italic>et al</italic>. (2004) y (2005) presentaban el desarrollo de modelos teóricos de probabilidad para el coste de los siniestros con truncamiento del dominio de la variable coste a cargo de asegurador, o estadísticamente hablando; modelos de probabilidad con variables condicionadas.</p> <p>Si bien las referencias cuentan ya con dos décadas desde su publicación, siguen siendo dos trabajos excelentes que muestran diversas maneras de truncar el dominio de la variable – en definitiva, distintas definiciones de franquicias – que pueden ser aplicadas tanto desde el punto de vista del negocio de seguro directo frente a seguros particulares; como desde el punto de vista del negocio reasegurador frente a aseguradoras.</p> <p>Diversos trabajos, Klugman <italic>et al</italic>. (2019) y Werner y Modlin (2016), han establecido las bases matemáticas para tratar franquicias, que se modelan como transformaciones de la distribución de severidad. La literatura del <italic>Casualty Actuarial</italic> Society (2018), Bahnemann (2015), también tratan aspectos relacionados con los límites de las distribuciones al aplicar franquicias.</p> <p>El trabajo de Brown y Schmitz (2006) y artículos como los de Lee y Frees (2016) y Lee (2017) han sistematizado la relación entre relatividades de franquicia obtenidas con distintos modelos lineales generalizados y métricas tales como el <italic>Loss Estimation Ratio</italic> y la <italic>Limited Average Severity</italic> poniendo foco en la aplicación práctica en las aseguradoras.</p> <p>Una práctica común en el sector asegurador derivada de la extensión del uso de modelos lineales generalizados es construir tablas de relatividades de franquicia aplicadas sobre una prima base; si bien es común el uso de metodologías más sofisticadas que reflejen la variabilidad por tipologías de riesgo.</p> <p>Ismail (2011) aplica la simulación Monte Carlo para cuantificar el efecto de diferentes franquicias y límites. Estos casos muestran que la interacción entre los deducibles y los límites agregados puede ser compleja, especialmente en el entorno del reaseguro.</p> <p>Este trabajo difiere de los estudios existentes en que aborda la problemática relacionada con la aplicación de las franquicias no constantes. Más allá del desarrollo de una nueva metodología; el enfoque propuesto – la aplicación de franquicias progresivas más gravosas para el asegurado en función de la siniestralidad declarada – se centra en la repercusión que pudiera tener sobre el asegurado el desincentivo que supone asumir mayor participación el coste del siniestro cuanto mayor es el número de siniestros declarados en el periodo de cobertura. Este trabajo es una continuación de los artículos de Vegas <italic>et al</italic>. (2004) y Vegas <italic>et al</italic>. (2005).</p> </sec> <sec id="modelo-de-siniestralidad-agregada-clásico"> <title>MODELO DE SINIESTRALIDAD AGREGADA CLÁSICO</title> <p>Partiendo de la definición de la variable compuesta <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> siniestralidad agregada,</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[S = X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{N} = \sum_{i = 0}^{N}X_{i}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>…</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[1]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>donde <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[N]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> es una variable aleatoria que representa el número de siniestros y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> representa la variable aleatoria del i-ésimo siniestro. Asumiendo que <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[N]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> son variables aleatorias independientes y que <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, la función de distribución <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[F_{S}(S) = P\left( S \leq s|N = n \right)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>S</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> es</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\begin{matrix} F_{S}(S) = P(S \leq s) = \\ P_{N}(N = 0) + P_{N}(N = 1) \cdot P_{X_{1}}\left( X_{1} \leq s \right) + \\ P_{N}(N = 2) \cdot P_{X_{1} + X_{2}}\left( X_{1} + X_{2} \leq s \right) + \cdots + \\ P_{N}(N = n) \cdot P_{X_{1} + {\ldots + X}_{n}}\left( X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n} \leq s \right) = \\ \sum_{n = 0}^{\infty}P_{N}(N = n) \cdot V^{*n}\left( X_{i} \right) \\ \\ \end{matrix}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="center"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="center"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> 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display="inline"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>…</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> o función de distribución de la suma de las variables aleatorias <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>; <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[P_{N}(N = n)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es la probabilidad de que la variable aleatoria <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[N]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> tome el valor <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[n = 0,\ 1,\ ...]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>.</mml:mi><mml:mi>.</mml:mi><mml:mi>.</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> Es posible encontrar el valor esperado <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack S\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> que representará el valor de la prima pura.</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\begin{matrix} E\lbrack S\rbrack = \int_{0}^{\infty}S \cdot \text{d}F(S) = \int_{0}^{\infty}S \cdot \text{d}\left\{ \sum_{n = 0}^{\infty}P_{N}(N = n) \cdot V^{*n}(X) \right\} = \\ \\ \sum_{n = 0}^{\infty}P_{N}(N = n) \cdot \int_{0}^{\infty}S \cdot \text{d}V^{*n}(X) = \sum_{n = 0}^{\infty}P_{N}(N = n) \cdot \int_{0}^{\infty}{\sum_{i = 1}^{n}X_{i}} \cdot \text{d}V^{*i}(X) = \\ \\ \sum_{n = 0}^{\infty}P_{N}(N = n) \cdot \left( \sum_{i = 1}^{n}{\int_{0}^{\infty}X_{i}} \cdot \text{d}V^{*i}(X) \right) = \sum_{n = 0}^{\infty}P_{N}(N = n) \cdot \sum_{i = 1}^{n}E\lbrack X\rbrack = \sum_{n = 0}^{\infty}P_{N}(N = n) \cdot n \cdot E\lbrack X\rbrack = \\ \\ E\lbrack X\rbrack \cdot E\lbrack N\rbrack \\ \\ \end{matrix}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="center"> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mtext mathvariant="normal">d</mml:mtext> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mtext mathvariant="normal">d</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">{</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">∞</mml:mo> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="center"> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">∞</mml:mo> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mtext mathvariant="normal">d</mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">∞</mml:mo> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mtext mathvariant="normal">d</mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="center"> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">∞</mml:mo> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mtext mathvariant="normal">d</mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>*</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">∞</mml:mo> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">∞</mml:mo> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="center"> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[3]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Operando adecuadamente, también puede expresarse el valor esperado de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> a través de las funciones de supervivencia, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S_{X}(x) = P_{X}(X > x)\ ]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S_{N}(n) = P_{N}(N > n)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>P</mml:mi><mml:mi>N</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, de las variables <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[N]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>N</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>, respectivamente; lo que resulta conveniente a efectos del propósito de este trabajo como se verá más adelante.</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\lbrack S\rbrack = \int_{0}^{\infty}{S_{X}(x)}\text{d}x \cdot \sum_{j = 0}^{\infty}P_{N}(N > j)]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="normal">d</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo accent="false">∞</mml:mo> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[4]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Bajo las hipótesis de [1], se puede demostrar que la varianza de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\lbrack S\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, es:</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\lbrack S\rbrack = E^{2}\lbrack X\rbrack \cdot V\lbrack N\rbrack + V\lbrack X\rbrack \cdot E\lbrack N\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[5]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Al relajar la hipótesis de que las variables <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> son idénticamente distribuidas el estimador obtenido en [3] ya no es útil, ni resultará en una expresión tan elegante.</p> </sec> <sec id="coste-esperado-y-varianza-de-x-con-franquicia-absoluta-de-cuantía-mathbfa"> <title>COSTE ESPERADO Y VARIANZA DE X CON FRANQUICIA ABSOLUTA DE CUANTÍA <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\mathbf{A}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mstyle mathvariant="bold"><mml:mi>𝐀</mml:mi></mml:mstyle></mml:math></alternatives></inline-formula></title> <p>Para determinar el coste esperado de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> con franquicia absoluta de cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> nos remitimos al artículo de referencia mencionado Vegas <italic>et al.</italic> (2005) en el que se establece lo siguiente:</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack = \int_{A}^{+ \infty}(x - A) \cdot f_{X}(x)\ dx\ \ \ \ \ \ \ \ ]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[6]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Expresión que, para mayor facilidad de interpretación, puede ser reducida a:</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack = \overline{c} - \int_{0}^{A}x \cdot f_{X}(x)\ dx - A \cdot (1 - F_{X}(A))]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo accent="true">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[7]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Donde <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\overline{c} = E\lbrack X\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mover><mml:mi>c</mml:mi><mml:mo accent="true">¯</mml:mo></mml:mover><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es el coste esperado de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> sin franquicia, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es el coste medio de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> con franquicia absoluta de cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[f_{X}(x)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es la función de densidad de la variable aleatoria <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[F_{X}(X)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es la función de distribución de la variable aleatoria <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> <p>La varianza de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> con franquicia absoluta de cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> se obtendría resolviendo la expresión:</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack = E\left\lbrack X^{2} \middle| A \right\rbrack - E^{2}\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack = \int_{A}^{+ \infty}(X - A)^{2} \cdot f_{X}(x)\ dx - \left( \int_{A}^{+ \infty}(x - A) \cdot f_{X}(x)\ dx \right)^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ ]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[8]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Que de manera simplificada quedaría expresada como:</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack = 2 \cdot \int_{A}^{+ \infty}(x - A) \cdot S_{X}(x)\ dx - \ \left( \int_{A}^{+ \infty}{S_{X}(x)}\ dx \right)^{2}\ \ \ \ \ \ \ ]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[9]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Donde <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S_{X}(x)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>S</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es la función de supervivencia de la variable aleatoria <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> definida como <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[1 - F_{X}(x) = 1 - P(X \leq x)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>F</mml:mi><mml:mi>X</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> <p>Particularizando la variable aleatoria <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> para tres distribuciones distintas obtendríamos las expresiones mostradas en la Tabla 1 y Tabla 2 para el coste esperado y la varianza, respectivamente, de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> con franquicia absoluta de cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>:</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th>Distribución<xref ref-type="fn" rid="fn2">2</xref> de X</th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Exponencial</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\overline{c} \cdot S_{X}(A)]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo accent="true">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>[10]</td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>LogNormal</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\overline{c} \cdot \left\lbrack 1 - \Phi\left( \frac{\log(A) - \left( \mu + \sigma^{2} \right)}{\sigma} \right) \right\rbrack - A \cdot \left\lbrack 1 - \Phi\left( \frac{\log(A) - \mu}{\sigma} \right) \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo accent="true">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>[11]</td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Gamma</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\overline{c} \cdot S_{X}\left( A \middle| \alpha + 1;\beta \right) - A \cdot S_{X}(A|\alpha;\beta)]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo accent="true">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>[12]</td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><bold>Tabla 1</bold>: Particularización de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> para una selección de distribuciones.Fuente: Vegas <italic>et al</italic>. (2005).</td> <td></td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th>Distribución de X</th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Exponencial</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[{\overline{c}}^{2} \cdot \left\lbrack 2 \cdot S_{X}(A) - {S_{X}(A)}^{2} \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo accent="true">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>[13]</td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>LogNormal</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[e^{2 \cdot \left( \mu + \sigma^{2} \right)} \cdot \left\lbrack 1 - \Phi\left( \frac{\ln(A) - \left( \mu + \sigma^{2} \right)}{\sigma} \right) \right\rbrack - 2 \cdot A \cdot e^{\mu + \frac{\sigma^{2}}{2}} \cdot \left\lbrack 1 - \Phi\left( \frac{\ln(A) - \left( \mu + \sigma^{2} \right)}{\sigma} \right) \right\rbrack + A^{2} \cdot \left\lbrack 1 - \Phi\left( \frac{\ln(A) - \mu}{\sigma} \right) \right\rbrack - \left\lbrack \overline{c} \cdot \left\lbrack 1 - \Phi\left( \frac{\ln(A) - \left( \mu + \sigma^{2} \right)}{\sigma} \right) \right\rbrack - A \cdot \left\lbrack 1 - \Phi\left( \frac{\ln(A) - \mu}{\sigma} \right) \right\rbrack \right\rbrack^{2}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo accent="true">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>ln</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>[14]</td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Gamma</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\frac{\alpha \cdot (\alpha + 1)}{\beta^{2}} \cdot S_{X}\left( A|\alpha + 2;\beta \right) - 2 \cdot A \cdot \frac{\alpha}{\beta} \cdot S_{X}\left( A|\alpha + 1;\beta \right) + A^{2} \cdot S_{X}\left( A|\alpha;\beta \right) - \left\lbrack \overline{c} \cdot S_{X}\left( A|\alpha + 1;\beta \right) - A \cdot S_{X}\left( A|\alpha;\beta \right) \right\rbrack^{2}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo accent="true">¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>[15]</td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><bold>Tabla 2</bold>: Particularización <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> para una selección de distribuciones. Fuente: Vegas <italic>et al</italic>. (2005).</td> <td></td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>A partir de las expresiones de la Tabla 1 se deduce que la prima pura a pagar por el asegurado en el caso que exista una franquicia absoluta de cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> en el coste <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X\ ]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>X</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>de los siniestros es</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\lbrack S|A\rbrack = E\lbrack N\rbrack \cdot E\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[16]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>A partir de la Tabla 2 y de [5] se deducen expresiones particulares para <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\left\lbrack S|A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, pero más complejas que lo obtenido en [16], para cada una de las distribuciones propuestas.</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack S|A \right\rbrack = E^{2}\left\lbrack X|A \right\rbrack \cdot V\lbrack N\rbrack + V\lbrack X|A\rbrack \cdot E\lbrack N\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[17]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> </sec> <sec id="coste-esperado-y-varianza-de-x-con-franquicia-absoluta-de-cuantía-mathbfa_mathbfi-no-constante"> <title>COSTE ESPERADO Y VARIANZA DE X CON FRANQUICIA ABSOLUTA DE CUANTÍA <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\mathbf{A}_{\mathbf{i}}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mstyle mathvariant="bold"><mml:mi>𝐀</mml:mi></mml:mstyle><mml:mstyle mathvariant="bold"><mml:mi>𝐢</mml:mi></mml:mstyle></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> NO CONSTANTE</title> <p>Si se asume que el coste esperado de los siniestros es distinto – lo que significa que las distribuciones de las cuantías de los siniestros ya no son idénticas – resulta conveniente reformular el estimador de la prima pura y de la varianza.</p> <p>Introduciendo por ejemplo franquicias absolutas distintas – progresivas, por ejemplo – para cada siniestro, esto es, una franquicia <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A_{1}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> para el primer siniestro, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A_{2}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> para el segundo, y así sucesivamente; de modo que haya cierta progresividad, por ejemplo, creciente (<inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A_{1} < A_{2} < \ldots]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo><</mml:mo><mml:mi>…</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> ) en la franquicia que desincentive la declaración de siniestros a medida que incrementa el número de siniestros en el periodo de cobertura; se pueden derivar estimadores para la prima pura <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack S|A_{i}\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y para la varianza <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\lbrack S|A_{i}\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> <p>Considérese el modelo de siniestralidad agregada definido en [1]. Supónganse que cada siniestro <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[i]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>i</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> tiene una franquicia <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>, de modo que el coste esperado pasa de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack X\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> a <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack X|A_{i}\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> <p>Se define,</p> <p> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\mu_{i} = \ E\lbrack X_{i}|A_{i}\rbrack,\ \ \ \ \upsilon_{i}\ = \ V\left\lbrack X_{i}|A_{i} \right\rbrack,\ \ \ \ p_{i}\ = \ P(N\ \geq \ i)]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </p> <p>Es posible reescribir [1] como:</p> <p> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[S = \sum_{i \geq 1}^{}{I_{i} \cdot X_{i}}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </p> <p>donde <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[I_{i} = 1_{\left\{ N \geq i \right\}}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mn>1</mml:mn><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">{</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">}</mml:mo></mml:mrow></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es una variable aleatoria binaria con <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack I_{i} \right\rbrack = p_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\left\lbrack I_{i} \right\rbrack = p_{i} \cdot \left( 1 - p_{i} \right)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> independiente de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> <p>Entonces, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S|A_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> queda expresada como <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S|A_{i} = \sum_{i \geq 1}^{}{I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∑</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, y su valor esperado</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S|A_{i} \right\rbrack = E\left\lbrack \sum_{i \geq 1}^{}{I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}} \right\rbrack = \sum_{i \geq 1}^{}{E\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack} = \sum_{i \geq 1}^{}{E\left\lbrack I_{i} \right\rbrack \cdot E\left\lbrack X_{i}|A_{i} \right\rbrack} = \sum_{i \geq 1}^{}{p_{i} \cdot \mu_{i}}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[18]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Donde <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack X_{i}|A_{i}\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> es el valor esperado del coste del siniestro i-ésimo, que ahora son distintos entre sí al asumir que las franquicias no son constantes. De esta forma se establece que la prima pura consiste en la suma ponderada por su probabilidad del coste esperado del i-ésimo siniestros. En el caso de que el coste esperado del i-ésimo siniestro fuera el mismo para todos los siniestros la formulación establecida en [18] reconciliaría con la de [3].</p> <p>La varianza de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S|A_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> queda expresada del siguiente modo:</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack S|A_{i} \right\rbrack = V\left\lbrack \sum_{i \geq 1}^{}{I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}} \right\rbrack = \sum_{i \geq 1}^{}{V\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack + 2 \cdot Cov\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}\ ;\ I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[19]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Las varianzas individuales <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, se pueden expresar en función de los momentos de primer y segundo orden,</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack = E\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack^{2} - E^{2}\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack = E\left\lbrack I_{i} \right\rbrack \cdot E\left\lbrack {X_{i}}^{2}|A_{i} \right\rbrack - \left( E\left\lbrack I_{i} \right\rbrack \cdot E\left\lbrack X_{i}|A_{i} \right\rbrack \right)^{2} = p_{i} \cdot \left( \upsilon_{i} + {\mu_{i}}^{2} \right) - \left( p_{i} \cdot \mu_{i} \right)^{2}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[20]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Reordenando los términos,</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack = p_{i} \cdot \left( \upsilon_{i} + {\mu_{i}}^{2} \right) - \left( p_{i} \cdot \mu_{i} \right)^{2} = p_{i} \cdot \upsilon_{i} + p_{i} \cdot {\mu_{i}}^{2} - {p_{i}}^{2} \cdot {\mu_{i}}^{2} = p_{i} \cdot \upsilon_{i} + {\mu_{i}}^{2} \cdot p_{i} \cdot \left( 1 - p_{i} \right)]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[21]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>La covarianza <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[Cov\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}\ ;\ I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>C</mml:mi><mml:mi>o</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> expresada como el producto cruzado de las variables menos el producto de los valores esperados queda,</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[Cov\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}\ ;\ I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack = E\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}\ \cdot \ I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack - E\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack \cdot E\left\lbrack I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[22]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Para el primer término, puesto que si <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[j > i]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>j</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>i</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> entonces <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[p_{j} > p_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack I_{i} \cdot I_{j} \right\rbrack = p_{j}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:msub><mml:mi>I</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>p</mml:mi><mml:mi>j</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula></p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}\ \cdot \ I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack = p_{j} \cdot \mu_{j} \cdot \mu_{i}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[23]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>El segundo término,</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i} \right\rbrack \cdot E\left\lbrack I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack = p_{i} \cdot \mu_{i} \cdot p_{j} \cdot \mu_{j}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[24]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Reunificando ambos términos,</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[Cov\left\lbrack I_{i} \cdot X_{i}|A_{i}\ ;\ I_{j} \cdot X_{j}|A_{j} \right\rbrack = p_{j} \cdot \mu_{j} \cdot \mu_{i} - p_{i} \cdot \mu_{i} \cdot p_{j} \cdot \mu_{j} = p_{j} \cdot \mu_{j} \cdot \mu_{i} \cdot \left( 1 - p_{i} \right)]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[25]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Por lo tanto, la varianza de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S|A_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> queda reducida a lo ya presentado en [19],</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[V\left\lbrack S|A_{i} \right\rbrack = \sum_{i \geq 1}^{}{p_{i} \cdot \upsilon_{i} + {\mu_{i}}^{2} \cdot p_{i} \cdot \left( 1 - p_{i} \right) + 2 \cdot}\sum_{i < j}^{}{p_{j} \cdot \mu_{j} \cdot \mu_{i} \cdot \left( 1 - p_{i} \right)}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>⋅</mml:mo> </mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>[26]</th> </tr> </thead> <tbody> </tbody> </table> </table-wrap> <p>La expresión [26] reconciliaría con [5] o [17] en el caso que <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\left\lbrack X_{i} \middle| A_{i} \right\rbrack = V\lbrack X\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X_{i} \middle| A_{i} \right\rbrack = E\lbrack X\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, es decir, en el caso que no hubiera franquicia o esta fuese constante, en cuyo caso <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[V\left\lbrack X_{i} \middle| A_{i} \right\rbrack = V\lbrack X|A\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X_{i} \middle| A_{i} \right\rbrack = E\left\lbrack X|A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> </sec> <sec id="aplicación-práctica"> <title>APLICACIÓN PRÁCTICA</title> <p>Identificadas en [10], [11] y [12] las expresiones para el coste esperado de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> con franquicia absoluta de cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> para un conjunto de distribuciones y, establecido en [18] el modelo de cálculo para la prima pura, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack S|A_{i}\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, en el caso que se rompa la condición que exige que las distribuciones de los costes de los siniestros sean idénticas; se muestran a continuación diversos ejemplos de la estimación de la prima pura con franquicias absolutas progresivas en el coste de los siniestros, asumiendo una distribución de Poisson o Binomial Negativa para el número de siniestros en todos los casos.</p> <p>Para cada modelo de coste, asumiendo una distribución de Poisson o Binomial Negativa para el número de siniestros<xref ref-type="fn" rid="fn3">3</xref>, se muestra la comparativa entre prima pura sin franquicia, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack S\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, frente a prima pura, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, cuando el coste esperado de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> con franquicia absoluta de cuantía <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>A</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack X \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>; y prima pura, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S|A_{i} \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, cuando el coste medio de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>X</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula> contempla franquicias absolutas progresivas de cuantías <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[A_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> en cada uno de los i-ésimos siniestros, <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack X|A_{i}\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>X</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> <p>Con tal fin, en la Tabla 3 se presenta la parametrización de las distribuciones y en la Tabla 4 se muestra la progresividad de las franquicias absolutas. En la Tabla 5 a la Tabla 8 muestran la comparativa de primas puras de cada uno de los modelos de coste, sin franquicia, con franquicia progresiva y con franquicia constante y sus desviaciones típicas.</p> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th> <bold>Distribución</bold> </th> <th> <bold>Parámetros</bold> </th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Poisson</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\lambda = 0,3]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Binomial Negativa</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[r = 5;\ p = 0,83]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>83</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Exponencial</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\theta = 0,0019]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>θ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0019</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>LogNormal</td> <td> <inline-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\mu = 5,4695]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4695</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </inline-formula> <inline-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\sigma = 1,2306]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2306</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </inline-formula> </td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td>Gamma</td> <td> <inline-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\alpha = 0,2819]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2819</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </inline-formula> <inline-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\beta = 0,0005]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0005</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </inline-formula> </td> </tr> <tr> <td></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><bold>Tabla 3</bold>: Parámetros de las distribuciones.Fuente: Elaboración propia.</td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th colspan="2">Nº siniestro</th> <th colspan="5"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[A_{i}]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th></th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td colspan="2"></td> <td colspan="5"></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2">1er.+</td> <td colspan="5">300</td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2"></td> <td colspan="5"></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2">2o.+</td> <td colspan="5">350</td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2"></td> <td colspan="5"></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2">3er.+</td> <td colspan="5">400</td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2"></td> <td colspan="5"></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2">4o.+</td> <td colspan="5">500</td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="2"></td> <td colspan="5"></td> <td></td> </tr> <tr> <td colspan="7"><bold>Tabla 4</bold>: Cuantías de franquicia absoluta<xref ref-type="fn" rid="fn4">4</xref> en función del número de siniestro. Fuente: Elaboración propia.</td> <td></td> </tr> <tr> <td>Distribución de S</td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\lambda]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\lbrack S\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack\ ]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2">Diferencia*</td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Poisson Exponencial</td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,3]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[151,84]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>151</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>84</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[82,77]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>82</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>77</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[83,94]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>83</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>94</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1,17]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>17</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[506,15]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>506</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[266,70]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>266</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>70</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[279,81]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>279</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>81</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[13,11]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>13</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[2,5]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1.265,37]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>1.265</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>37</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[620,15]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>620</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[699,53]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>699</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>53</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[79,38]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>79</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>38</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Poisson LogNormal</td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,3]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[151,84]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>151</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>84</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[90,10]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>90</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>91,00</td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,90]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>90</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[506,15]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>506</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[293,42]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>293</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>42</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[303,32]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>303</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>32</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[9,90]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>90</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[2,5]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1.265,37]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>1.265</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>37</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[689,75]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>689</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>75</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[758,30]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>758</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>30</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[68,55]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>68</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>55</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Poisson Gamma</td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,3]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[151,84]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>151</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>84</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[107,14]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>107</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>14</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[107,91]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>107</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>91</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,77]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>77</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[506,15]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>506</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>15</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[351,11]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>351</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[359,70]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>359</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>70</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[8,59]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>59</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[2,5]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1.265,37]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>1.265</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>37</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[846,55]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>846</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>55</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[899,26]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>899</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>26</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td colspan="2"> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[52,71]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>52</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>71</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> </tr> <tr> <td colspan="8"><bold>Tabla 5</bold>: Prima pura de S sin franquicia <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack S\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, con franquicias absolutas constantes <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y progresivas <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.Poisson. Fuente: Elaboración propia. * Diferencia entre franquicia progresiva y constante.</td> </tr> <tr> <td colspan="8"> <p specific-use="wrapper"> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th>Distribución de S</th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\lambda]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\sigma\lbrack S\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack\ ]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>Diferencia*</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td rowspan="3">Poisson Exponencial</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,3]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>392,06</td> <td>288,34</td> <td>291,51</td> <td>3,17</td> </tr> <tr> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>715,80</td> <td>512,92</td> <td>532,22</td> <td>19,30</td> </tr> <tr> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[2,5]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>1.131,78</td> <td>770,30</td> <td>841,50</td> <td>71,20</td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Poisson LogNormal</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,3]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>591,04</td> <td>477,44</td> <td>480,82</td> <td>3,38</td> </tr> <tr> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>1.079,09</td> <td>857,02</td> <td>877,86</td> <td>20,84</td> </tr> <tr> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[2,5]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>1.706,20</td> <td>1.307,94</td> <td>1.388,02</td> <td>80,08</td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Poisson Gamma</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[0,3]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>658,51</td> <td>553,76</td> <td>589,32</td> <td>35,56</td> </tr> <tr> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[1]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>1.202,27</td> <td>1.003,78</td> <td>1.075,95</td> <td>72,17</td> </tr> <tr> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[2,5]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>1.900,96</td> <td>1.564,20</td> <td>1.701,22</td> <td>137,02</td> </tr> <tr> <td colspan="6"> <p><bold>Tabla 6</bold>: Desviación típica de S sin franquicia <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\sigma\lbrack S\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, con franquicias absolutas constantes <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y progresivas <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.Poisson. Fuente: Elaboración propia.</p> <p>* Diferencia entre franquicia progresiva y constante.</p> </td> </tr> <tr> <td colspan="6"></td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> </p> </td> </tr> <tr> <td colspan="8"> <p specific-use="wrapper"> <table-wrap> <table> <thead> <tr> <th>Distribución de S</th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[r;p]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\lbrack S\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack\ ]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </th> <th>Diferencia*</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td rowspan="3">Binomial Negativa Exponencial</td> <td>2; 0,83</td> <td>151,84</td> <td>81,98</td> <td>83,94</td> <td>1,96</td> </tr> <tr> <td>5; 0,83</td> <td>506,15</td> <td>264,16</td> <td>279,81</td> <td>15,11</td> </tr> <tr> <td>13; 0,83</td> <td>1.265,35</td> <td>615,95</td> <td>699,52</td> <td>83,57</td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Binomial Negativa LogNormal</td> <td>2; 0,83</td> <td>151,84</td> <td>89,51</td> <td>91,00</td> <td>1,49</td> </tr> <tr> <td>5; 0,83</td> <td>506,15</td> <td>291,53</td> <td>303,32</td> <td>11,79</td> </tr> <tr> <td>13; 0,83</td> <td>1.265,35</td> <td>695,63</td> <td>758,29</td> <td>62,66</td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Binomial Negativa Gamma</td> <td>2; 0,83</td> <td>151,84</td> <td>106,63</td> <td>107,91</td> <td>1,28</td> </tr> <tr> <td>5; 0,83</td> <td>506,15</td> <td>349,41</td> <td>359,70</td> <td>10,29</td> </tr> <tr> <td>13; 0,83</td> <td>1.265,35</td> <td>843,67</td> <td>899,24</td> <td>55,57</td> </tr> <tr> <td colspan="6"> <p><bold>Tabla 7</bold>: Prima pura de S sin franquicia <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\lbrack S\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, con franquicias absolutas constantes <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y progresivas <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[E\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>E</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.Binomial Negativa**. Fuente: Elaboración propia.</p> <p>* Diferencia entre franquicia progresiva y constante.</p> <p>** Parámetros de la distribución Binomial que se derivan a partir de los parámetros lambda de la Poisson y un parámetro de sobre dispersión de 1,2.</p> </td> </tr> <tr> <td colspan="6"></td> </tr> <tr> <td>Distribución de S</td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[r;p]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\sigma\lbrack S\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack\ ]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td> <disp-formula> <alternatives> <tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> </alternatives> </disp-formula> </td> <td>Diferencia*</td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Binomial Negativa Exponencial</td> <td>2; 0,83</td> <td>411,20</td> <td>293,61</td> <td>299,46</td> <td>5,85</td> </tr> <tr> <td>5; 0,83</td> <td>750,74</td> <td>521,48</td> <td>547,73</td> <td>26,25</td> </tr> <tr> <td>13; 0,83</td> <td>1.186,92</td> <td>783,14</td> <td>864,41</td> <td>81,27</td> </tr> <tr> <td rowspan="3"> <p>Binomial Negativa</p> <p>LogNormal</p> </td> <td>2; 0,83</td> <td>603,91</td> <td>480,57</td> <td>486,53</td> <td>5,96</td> </tr> <tr> <td>5; 0,83</td> <td>1.102,58</td> <td>862,15</td> <td>888,28</td> <td>26,13</td> </tr> <tr> <td>13; 0,83</td> <td>1.743,25</td> <td>1.316,75</td> <td>1.404,45</td> <td>87,70</td> </tr> <tr> <td rowspan="3">Binomial Negativa Gamma</td> <td>2; 0,83</td> <td>670,08</td> <td>559,29</td> <td>595,87</td> <td>36,58</td> </tr> <tr> <td>5; 0,83</td> <td>1.233,40</td> <td>1.013,22</td> <td>1.087,91</td> <td>74,69</td> </tr> <tr> <td>13; 0,83</td> <td>1.934,29</td> <td>1.578,69</td> <td>1.720,08</td> <td>141,08</td> </tr> <tr> <td colspan="6"> <p><bold>Tabla 8</bold>: Desviación típica de S sin franquicia <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\sigma\lbrack S\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>, con franquicias absolutas constantes <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y progresivas <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\sigma\left\lbrack S \middle| A_{i} \right\rbrack]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>σ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">[</mml:mo><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="infix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">]</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.Binomial Negativa**. Fuente: Elaboración propia.</p> <p>* Diferencia entre franquicia progresiva y constante.</p> <p>** Parámetros de la distribución Binomial que se derivan a partir de los parámetros lambda de la Poisson y un parámetro de sobre dispersión de 1,2.</p> </td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> </p> </td> </tr> </tbody> </table> </table-wrap> <p>Los resultados de las Tabla 5 a Tabla 8 han sido obtenidos con los estimadores analíticos definidos en [3], [5], [16], [17], [18] y [19]. Sin embargo, puesto que tanto el modelo para <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mi>S</mml:mi></mml:math></alternatives></inline-formula>, como el de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S|A]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> y el de <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[S|A_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>S</mml:mi><mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> pueden ser simulados mediante algún algoritmo, es posible obtener los momentos de la distribución simulada y compararlos con los resultados de los estimadores analíticos. En el Anexo se proporciona el código R para el lector interesado en explorar esta vía.</p> </sec> <sec id="conclusiones"> <title>CONCLUSIONES </title> <p>La aplicación de franquicias en el cálculo de la prima es una herramienta de transferencia de riesgo al asegurado. Además de la reducción en la siniestralidad a cargo de la aseguradora, y por lo tanto del coste medio y de la prima pura a cargo del asegurado; las franquicias suponen un elemento disuasorio para el asegurado en la declaración del siniestro. Además, las franquicias reducen la varianza que soporta la entidad aseguradora, lo que reduce el riesgo para la compañía si se mide este por la variabilidad.</p> <p>No obstante, la introducción de franquicias en perfiles de riesgo con baja siniestralidad puede suponer una pérdida de ingresos para la aseguradora consecuencia de la reducción en la prima pura. Sería, pues, deseable introducir franquicias mayores en peores perfiles de riesgo, lo que implicaría establecer, una clasificación de qué perfiles son mejores o peores en cuanto a frecuencia de siniestralidad, lo que, a <italic>priori</italic>, puede resultar más complicado.</p> <p>Otra forma de penalizar los peores perfiles de riesgo es la aplicación de franquicias progresivas crecientes que supongan una mayor participación del asegurado en el coste del siniestro a medida que el número de siniestros que este declare sea mayor, es decir, introducir franquicias mayores o más gravosas para el asegurado a medida que el número de siniestros en el periodo de cobertura que el asegurado declare aumente.</p> <p>En este trabajo se han derivado los estimadores analíticos del valor esperado y varianza de la variable aleatoria siniestralidad agregada condicionados por la introducción de una franquicia absoluta progresiva creciente. Los estimadores suponen una generalización de los estimadores habituales de valor esperado y varianza de la siniestralidad agregada condicionados a franquicia constante; e incluso sin franquicia.</p> <p>Los resultados de los ejemplos numéricos muestran como a medida que el asegurado o cartera de seguros es peor en cuanto a frecuencia de siniestros – medido por el parámetro <italic>lambda</italic> de la distribución Poisson, por ejemplo – la diferencia en la prima pura a satisfacer es mayor al aplicar franquicias progresivas crecientes que en el caso de franquicias constantes. También se observa – cómo es de esperar – la reducción en la varianza del coste de los siniestros en el caso de franquicias progresivas crecientes respecto al caso de varianzas constantes.</p> <p>En el caso de observar un asegurado o cartera de seguros con un bajo perfil de riesgo – medido por el parámetro <italic>lambda</italic> de la distribución Poisson, por ejemplo – la diferencia en prima se hace inapreciable desde el punto de vista del asegurado, por lo que para la aseguradora y para el asegurado les resulta indiferente introducir franquicias absolutas progresivas o constantes a estos perfiles de riesgo.</p> <p>Sin embargo, la introducción de franquicias absolutas progresivas crecientes pone de manifiesto el efecto psicológico que sobre el asegurado puede tener las franquicias: por una parte, el desincentivo a la declaración de siniestros y el incentivo a la compra del seguro por el abaratamiento de la prima. En este caso, para perfiles de riesgo con frecuencia siniestral mayor cabría esperar un desincentivo a la declaración de siniestros, un abaratamiento de la prima para estos asegurados y una reducción en la varianza del coste de los siniestros que se traslada – <italic>ceteris paribus</italic> – a la varianza de la siniestralidad agregada.</p> <p>Además, la reducción de la varianza del coste de los siniestros al introducir franquicias constantes o progresivas genera menores recargos de seguridad si se emplea la desviación típica como catalizador del recargo de seguridad.</p> <p>Con distribuciones de frecuencia de siniestros con mayor varianza que la Poisson – en el caso práctico se emplea la distribución Binomial Negativa, cabe esperar que la varianza de la siniestralidad agregada aumente. Este aumento se compensará parcialmente con el decremento de la variabilidad del coste al introducir franquicias absolutas progresivas en lugar de constantes; con el consecuente efecto ya mencionado sobre el recargo de seguridad.</p> <p>Esta manera de establecer la tarificación, que parte de la Teoría de Riesgo Colectivo, podría ser empleada bajo un esquema de tarificación bajo la Teoría del Riesgo Individual si el valor estimado del número de siniestros fuese estimado para cada asegurado o perfil de riesgo homogéneo mediante un modelo lineal generalizado; lo que no afectaría a la distribución del coste – con o sin franquicia – al ser ambas variables aleatorias, número de siniestros y coste de estos, independientes.</p> <p>Finalmente, los estimadores derivados de valor esperado y varianza condicionados a franquicias absolutas no constantes son extensibles a otro tipo de franquicias – por ejemplo, aquella en el que el coste del siniestro <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math></alternatives></inline-formula> quede limitado a <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[X_{i} = mín.\left( máx.\left( X_{i} - A_{i};0 \right);M_{i} - A_{i} \right)]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>í</mml:mi><mml:mi>n</mml:mi><mml:mi>.</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mi>á</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>.</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>X</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>;</mml:mo><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>−</mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> con <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[M_{i} > A_{i}]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>M</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>></mml:mo><mml:msub><mml:mi>A</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>; cuya aplicación podría realizarse en otros ámbitos tales como el establecimiento de tratados <italic>Excess Loss</italic> de reaseguro.</p> </sec> <sec id="agradecimientos"> <title>AGRADECIMIENTOS</title> </sec> <sec id="referencias"> <title>REFERENCIAS</title> <p>Vegas Montaner, A., Escuder Vallés, R., & Oliver Raboso, J. (2004). Franquicias estadísticas. <italic>Anales del Instituto de Actuarios Españoles, 10</italic>, 149–191.</p> </sec> <sec id="anexo-a"> <title> ANEXO A</title> <p>=======================================================</p> <p>Código simulación R</p> <p>=======================================================</p> <p>## Coste Medio</p> <p>cm <- 506.15</p> <p>## Parámetros</p> <p>lambda <- 1 #Poisson</p> <p>theta <- 1/cm #Exponencial</p> <p>meanlog <- 5.4695 #Lognormal</p> <p>sdlog <- 1.2306 #Lognormal</p> <p>alpha <- 0.2819 #Gamma</p> <p>beta <- 0.0005 #Gamma</p> <p>## Truncamiento</p> <p>K <- 12</p> <p>## Franquicia</p> <p># Progesiva A_i = 300, 350, 400, 500, 500, ...</p> <p>A <- sapply(1:K, function(i) {</p> <p>if (i == 1) 300 else</p> <p>if (i == 2) 350 else</p> <p>if (i == 3) 400 else 500</p> <p>})</p> <p># Constante A = 300</p> <p># A <- rep(300,K)</p> <p># Sin franquicia</p> <p># A <- rep(0,K)</p> <p>## Monte Carlo</p> <p>R <- 10^6</p> <p>sim_S <- function() {</p> <p>N <- rpois(1, lambda)</p> <p>if (N == 0) return(0)</p> <p>YN <- rgamma(N , shape = alpha , rate = beta)</p> <p># YN <- rlnorm(N, meanlog = meanlog ,sdlog = sdlog)</p> <p># YN <- rexp(N, rate=1/cm)</p> <p>Ai <- A[1:N]</p> <p>Xi <- pmax(YN - Ai, 0)</p> <p>sum(Xi)</p> <p>}</p> <p>Svals <- replicate(R, sim_S())</p> <p>ES_sim <- mean(Svals) ; ES_sim</p> <p>StdS_sim <- sqrt(var(Svals)); StdS_sim</p> </sec> </sec> </body> <back> <fn-group> <fn id="fn1"> <label>1</label> <p>En la práctica, sería más conveniente hacer referencia a aplicar franquicias a expedientes de siniestros y no a siniestros. No obstante, sin pérdida de generalidad, a efectos de este trabajo se hará referencia a siniestro en el sentido amplio del término.</p> </fn> <fn id="fn2"> <label>2</label> <p>La función <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[\Phi( \cdot )]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>Φ</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mo>⋅</mml:mo><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> representa la función de distribución de una variable aleatoria normal estándar.</p> </fn> <fn id="fn3"> <label>3</label> <p>Los resultados se han obtenido mediante el estimador analítico truncando el número de siniestros en <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[k\ = \ 12]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>12</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula> puesto que es un número suficientemente alto dados los parámetros de las distribuciones de frecuencia y <inline-formula><alternatives><tex-math><![CDATA[P(N > k) \approx 0]]></tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"><mml:mrow><mml:mi>P</mml:mi><mml:mrow><mml:mo stretchy="true" form="prefix">(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo stretchy="true" form="postfix">)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>≈</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math></alternatives></inline-formula>.</p> </fn> <fn id="fn4"> <label>4</label> <p>En el caso de franquicia absoluta constante para todos los siniestros se asume la del siniestro número uno. Se asume un máximo de cuatro franquicias distintas cada una para cada uno de los cuatro eventuales siniestros. Se asume la cuantía de la franquicia del cuarto siniestro para el quinto y mayor número de siniestros.</p> </fn> </fn-group> <ref-list> <title> </title> <ref> <mixed-citation publication-type="book"> <source>Este artículo es continuación de los trabajos de Vegas et al.</source> <date date-type="pub"> <year>2004</year> </date> <source>sobre franquicias estadísticas y estocásticas magistralmente estructurados por Profesor Dr. Roberto Escuder Vallés y Profesor Dr. Ángel Vegas Montaner a quienes los autores agradecen el conocimiento adquirido al sistematizar el planteamiento de franquicias constantes.</source> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="book"> <person-group> <string-name>Bahnemann, D.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2015</year> </date> <source>Distributions for actuaries</source> <volume>2</volume> <publisher-name>Casualty Actuarial Society.</publisher-name> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="book"> <person-group> <string-name>Brown, B. Z., & Schmitz, M. C.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2006</year> </date> <source>Study note: Reading on deductibles.</source> <publisher-name>Casualty Actuarial Society.</publisher-name> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="journal"> <person-group> <string-name>Ismail, N.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2011</year> </date> <article-title>Deductibles, policy limits, and reinsurance: A case study in Malaysia.</article-title> <source>CAS E-Forum</source> <date date-type="pub"> <year>2011</year> </date> <fpage>1</fpage> <lpage>23</lpage> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="book"> <person-group> <string-name>Klugman, S. A., Panjer, H. H., & Willmot, G. E.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2019</year> </date> <source>Loss models: From data to decisions</source> <edition>(5th ed.).</edition> <publisher-name>Wiley.</publisher-name> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="journal"> <person-group> <string-name>Lee, G. Y.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2017</year> </date> <article-title>General insurance deductible ratemaking.</article-title> <source>North American Actuarial Journal</source> <volume>21</volume> <issue>4</issue> <fpage>620</fpage> <lpage>638</lpage> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="book"> <person-group> <string-name>Lee, G. Y., & Frees, E. W.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2016</year> </date> <source>General insurance deductible ratemaking with applications to the Local Government Property Insurance Fund (Research Report).</source> <publisher-name>Society of Actuaries.</publisher-name> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="journal"> <person-group> <string-name>Casualty Actuarial Society.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2018</year> </date> <article-title>Study note on truncation and censoring.</article-title> <ext-link>https://thecasinstitute.org/wp-content/uploads/2018/05/studynote-vF-050218.pdf</ext-link> <person-group> <string-name>Vegas Montaner, A., Escuder Vallés, R., & Oliver Raboso, J.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2004</year> </date> <article-title>Franquicias estadísticas.</article-title> <source>Anales del Instituto de Actuarios Españoles</source> <volume>10</volume> <fpage>149</fpage> <lpage>191</lpage> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="journal"> <person-group> <string-name>Vegas Montaner, A., Escuder Vallés, R., & Oliver Raboso, J.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2005</year> </date> <article-title>Franquicias estocásticas.</article-title> <source>Anales del Instituto de Actuarios Españoles</source> <volume>11</volume> <fpage>127</fpage> <lpage>199</lpage> </mixed-citation> </ref> <ref> <mixed-citation publication-type="chapter"> <person-group> <string-name>Werner, G., & Modlin, C.</string-name> </person-group> <date date-type="pub"> <year>2016</year> </date> <chapter-title>Basic ratemaking</chapter-title> <edition>(5th ed.).</edition> <source>Casualty Actuarial Society. ANEXO A</source> </mixed-citation> </ref> </ref-list> </back></article>Instituto de Actuarios de EspañaInstituto de Actuarios de España12026-07-25T23:06:00Z2026-07-25T23:08:00ZNormal211945251248884Microsoft Office Word02074587falsefalse293548falsefalse16.0000