Función logit

La función logit es un modelo de elección binaria basada en una distribución acumulada logística estándar. Su fórmula básica es:

Esta función se menciona en la Sección 4 de este artículo (Westreicher, s.f.).

Funciones biométricas

Una función biométrica es aquella que hace referencia a la vida (Ayuso, 2007). La variable biométrica principal es la edad de fallecimiento X. Las funciones biométricas principales son:

• $l_x$ : número de supervivientes a la edad $x$ .

• $d_x$ : número de fallecidos que mueren entre la edad $x$ y la edad $x + 1$ . Es decir,

• $L_x$ : número medio de personas vivas entre $x$ y $x + 1$ . Es decir,

• $m_x$ : tanto central de mortalidad o de fallecimiento: número de individuos con edad $x$ que fallecen por tiempo de exposición al tiempo de muerte. Es decir,

$m_x=\frac{d_x}{L_x}$ .   (4)

• $q_x$ : probabilidad de fallecer de un individuo de edad $x$ antes de alcanzar la edad $x+1$ . Es decir:

$q_x=\frac{d_x}{l_x}$ .   (5)

• $p_x$ : probabilidad de una persona de edad $x$ de alcanzar la edad $x+1$ . Es decir,

$p_x=1-q_x=\frac{l_{x+1}}{l_x}$ .   (6)

Con todos estos conceptos se puede modelizar una tabla de mortalidad o de vida que los resuma, siendo las columnas las funciones biométricas y las filas cada edad $x$ . Los conceptos de este apartado se mencionan en el presente artículo en las Secciones de la 4 a la 6.

Q-forward

Un contrato q-forward o de mortalidad a plazo es el tipo de instrumento más simple de cobertura del riesgo de longevidad y de mortalidad (Coughlan et al., 2007). Cox et al. (2010); Blake et al. (2018a) definen un q-forward como un acuerdo entre dos partes para intercambiar en una fecha futura (el vencimiento del contrato) una cantidad proporcional a la tasa de mortalidad a plazo de una determinada población, a cambio de una cantidad proporcional a una mortalidad fija, tasa acordada mutuamente al inicio. Es decir, un q-forward es un swap de cupón cero que intercambia mortalidad fija por mortalidad al vencimiento.

Por ende, un fondo de pensiones cubrirá el riesgo de longevidad y esperará a que la contraparte del forward le pague si la mortalidad es superior de lo previsto (es decir, si aumenta el riesgo de mortalidad). En consecuencia, el vendedor del q-forward será el fondo de pensiones (contraparte A), mientras que el comprador (contraparte B) será el inversor o banco de inversión, el cual tiene la exposición opuesta, pagando la tasa de mortalidad fija y recibiendo la tasa realizada en el vencimiento, como se ilustra en el Gráfico 2 ( ; Blake et al., 2018a) (Barrieu et al., 2010).

La primera transacción de derivados del mercado de capitales del mundo de un contrato q-forward se dio en enero de 2008 por JP Morgan y la empresa de compra de fondos de pensiones del Reino Unido Lucida a partir del índice LifeMetrics mediante ratios de probabilidad de fallecimiento o supervivencia a 10 años (Blake et al., 2018a, b) (Barrieu et al., 2010).

Del mismo modo que los swaps de longevidad, Blake et al. (2018a) arguyen que los q-forward se vincularon a un índice de longevidad basado en la mortalidad masculina nacional de Inglaterra y Gales para intervalos de diferentes edades. La cobertura fue proporcionada por JP Morgan e incluía cobertura de valor además de cobertura de efectivo.

S-forward y swap de longevidad

Según Barrieu et al. (2010) un swap de longevidad es un instrumento de cobertura de flujos de caja para la aseguradora de vida. El riesgo de longevidad se transfiere de la aseguradora a los inversores, a cambio de un precio: la prima.

Leung et al. (2018), Blake et al. (2018a) y Zeddouk y Devolder (2019) definen un contrato S-forward o survivor-forward como un swap donde el pagador de tasa fija paga una cantidad K ∈ (0, 1) a cambio de una cantidad variable sujeta a un índice, es decir, un swap de longevidad o de supervivencia (o S-swap). Por tanto, el Swap de longevidad se diseña financieramente como una cartera plain vanilla, id est, un contrato a medida u OTC (over the counter) con vencimiento a largo plazo, sin transferencia de activos (Blake et al., 2018b). En cualquier swap de longevidad, el plan de pensiones o aseguradora recibe del vendedor del swap los pagos reales (y variables) que debe pagar a los pensionistas y, a cambio, realiza una serie de pagos fijos al vendedor (Barrieu et al., 2010); (Blake et al., 2018a).

A pesar de la vasta literatura de los S-forward, no ha arraigado en el mercado porque es muy difícil calcular su precio. Dos soluciones que han tenido éxito en el mercado han sido los swaps de longevidad basados en pensiones y los seguros de longevidad (Blake et al., 2018a).

Existen dos tipos de swaps de longevidad (Barrieu et al., 2010): los basados en un índice y los personalizados. Hay una pequeña cantidad de valores del mercado de capitales que se han lanzado con éxito desde 2006: bonos con diferencial de longevidad, swaps de longevidad, q-forwards, S-forwards y protección contra el riesgo de cola. La característica clave de estos es que la mayoría son soluciones indexadas en lugar de personalizadas (Blake et al., 2018a).

El primer Swap de longevidad (aunque fue estructurado como un contrato de seguro del mercado de capitales) tuvo lugar en abril de 2007 por 1.700 millones de libras esterlinas entre Swiss Re y Friends Provident, una aseguradora de vida del Reino Unido, la cual realizaba pagos y asumía el riesgo de longevidad. Por otro lado, el primero basado en los mercados de capitales tuvo lugar en julio de 2008 entre JP Morgan y Canada Life en el Reino Unido. Canada Life cubrió 500 millones de libras esterlinas de rentas vitalicias mediante un swap a 40 años personalizado para la exposición de longevidad de la aseguradora a 125.000 pensionistas. El riesgo de longevidad se transfirió por completo a los inversores, que incluían fondos de cobertura y fondos de valores vinculados a seguros (ILS). JP Morgan actu´o como intermediario asumiendo el riesgo de crédito de contraparte (Blake et al., 2018a). Más adelante, entre 2007 y 2016 se ejecutaron 48 swaps de longevidad en el Reino Unido por valor de 75.000 millones de libras esterlinas (Blake et al., 2018b). Por otro lado, desde 2007 hasta 2010 también se realizaron operaciones con swaps entre compañías de seguros y reaseguradoras (Barrieu et al., 2010).

Bono de longevidad

En los últimos años, se han propuesto varias soluciones basadas en el mercado de capitales para la gestión del riesgo de mortalidad y del riesgo de longevidad y, algunas, se han lanzado con éxito. Comprenden instrumentos de deuda vinculados a la mortalidad o a la longevidad, como bonos de mortalidad (MLS) y de longevidad (LLS) o derivados que permiten que los pagos de cupones y/o reembolsos dependan del rendimiento del índice subyacente de mortalidad o longevidad, como el índice suizo unido al bono Swiss Re Kortis, instrumento de protección del riesgo de cola a través de un bono de longevidad adaptado (Bravo y Vidal, 2021). El artículo de Bravo y Vidal continúa indicando que los bonos de longevidad, los reaseguros y los swaps de longevidad son técnicas de mitigación del riesgo de longevidad, las cuales permiten el control de pérdidas y la cobertura natural.

El bono Swiss Re fue el primer bono vinculado con el riesgo de mortalidad lanzado al mercado en Reino Unido en diciembre de 2003 adaptado en diseño y madurez del bono de mortalidad de Vita. Tuvo éxito, por lo que la operación se repitió en abril y diciembre de 2006. Posteriormente las aseguradoras optaron por reducir sus riesgos y crearon otros bonos (Cox et al., 2010). Uno de ellos fue el bono EIB-BNP Paribas, el cual cubría el riesgo de longevidad, pero quebró en 2005 (Barrieu et al., 2010).

Blake et al. (2018a) expone un ejemplo exitoso de bono Swiss Re Kortis. Fue emitido en diciembre de 2010 y venció en enero de 2017. El bono pagó cupones trimestrales del 5 % por encima del libor con devolución al vencimiento. Asimismo, estos bonos de longevidad estaban diseñados para cubrir la exposición de Swiss Re al riesgo de mortalidad y al riesgo de longevidad.

Leung et al. (2018) exponen que el objetivo del bono EIB-BNP Paribas era protegerse contra la exposición al riesgo de longevidad de las personas de 75 a 85 años en el Reino Unido y del riesgo de mortalidad de las personas del mismo intervalo de edades en EE. UU. Blake et al. (2018a) argumenta, por otro lado, que falló porque se consideró caro debido a la incorporación de una cobertura de longevidad extremadamente larga e innecesaria, a pesar de ser útil, transparente y relevante en su conjunto.

Los valores relacionados con la longevidad no se negocian ampliamente en los mercados financieros, puesto que es muy difícil fijar precios (Zeddouk y Devolder, 2019). Por este motivo, los modelos de Cox y Lin (2007) permiten a los inversores comprender mejor por qué el bono de Swiss Re es una inversión atractiva a pesar de la incertidumbre asociada con el riesgo de mortalidad, mientras que el bono del EIB-BNP Paribas no se vendió muy bien.

Una de las soluciones estudiadas en los últimos 20 años es la titulización del riesgo de longevidad. En contrapartida a los derivados (como, por ejemplo, swaps o q-forwards), los ILS o valores vinculados a seguros están aumentando su importancia en el mercado financiero para transferir ese riesgo de longevidad (Blake et al., 2018a). En la práctica se ha intentado gestionar un mercado de derivados de seguros, como futuros u opciones, pero no ha tenido el éxito esperado en el ramo de vida (Barrieu et al., 2010).

Reaseguro

El Diccionario de Seguros Allianz define el reaseguro como un contrato con el que una aseguradora (cedente) pasa a ser asegurada de otra (reaseguradora), es decir, distribuye los riesgos y responsabilidades en caso de siniestro, cubriendo parcialmente su coste. Se protege ante la posibilidad que ocurra un siniestro de elevada cuantía, que pudiera ocasionarle graves pérdidas económicas.

Bravo y Vidal (2021) estudiaron que el reaseguro es la solución que predomina en el mercado en formato de rentas vitalicias para transferir su riesgo de longevidad, pero también es de las opciones más costosas, debido a sus primas y al aumento de la longevidad a nivel mundial. Además, no es diversificable, por lo que esta práctica se vuelve insostenible en el tiempo. Por este motivo brotaron nuevas formas de transferir el riesgo de longevidad (Zeddouk y Devolder, 2019), como la titulización (ver Sección 3.5) o el pension buy-in y el pension buy-out.

La primera transacción internacional de Reaseguro de longevidad tuvo lugar en junio de 2011 entre Rothesay Life (Reino Unido) y PICA (EE. UU.) valorada en 100 millones de libras esterlinas. Del mismo modo, el primer swap de Reaseguro de vida desde la crisis financiera mundial de 2007-2008 también se llevó a cabo en junio de 2011 entre Atlanticlux e inversores institucionales y se valoró en 60 millones € (Blake et al., 2018a).

Otras soluciones de mitigación del riesgo de longevidad y del riesgo de mortalidad

Además de los instrumentos expuestos previamente hay gran variedad de métodos alternativos de mitigación del riesgo de longevidad y/o del riesgo de mortalidad. Algunos de ellos son los swaps de mortalidad, futuros de mortalidad, opciones de mortalidad, bonos de longevidad de cupón cero o bonos de longevidad diferidos, entre otros (Blake et al., 2018a).

En Blake et al. (2018a) también se arguyen otros métodos. El primero son los LLS o valores basados en la longevidad formados a partir de los bonos de longevidad sin éxito EIB-BNP Paribas ( ; Blake et al., 2018a) (Barrieu et al., 2010).

Otra opción es el Reaseguro de sidecar que consiste en compartir riesgos con nuevos inversores cuando a los inversionistas les preocupa que el reasegurador cedente tenga una ventaja informativa. En el Gráfico 3 se aprecia cómo este tipo de reaseguro es una estructura financiera que admite que los inversionistas externos asuman los riesgos a largo plazo y se beneficien a corto plazo. Por el mismo motivo, a las aseguradoras les favorece este instrumento, ya que se protegen frente a riesgos Máximos de longevidad.

Estas soluciones podrían tener éxito en la actualidad debido a la limitación de la industria de seguros y reaseguros: no tienen el capital y el personal suficientes para hacer frente a un riesgo de longevidad ilimitado.

Es posible atraer a nuevos inversores en los mercados de capitales, pero según Blake et al. (2018a) es probable que la cobertura del inversionista no sea del todo eficaz ni transparente. A pesar de ello, Blake et al. comentan que, a comienzos de 2018, el sidecar de reaseguro tuvo éxito con el anuncio de creación de una nueva empresa por parte de RGA Re y Renaissance Re.

Existe disonancia entre lo que prefieren los inversores del mercado de capitales y las soluciones que han sido más populares. Los inversores se decantan por los bonos de mortalidad a largo plazo, mientras que las más exitosas han sido los swaps de longevidad y los bonos de mortalidad a corto plazo (Blake et al., 2018a).

Para aumentar la liquidez el artículo de Barrieu et al. (2010) informa que se debe cambiar la mentalidad de seguro a la de mercado de capitales. Además, se han creado índices de longevidad para mejorar la visibilidad, la transparencia y la comprensión del riesgo de longevidad en los mercados, a partir de datos nacionales. Estos índices ayudan a mitigar, en parte, el riesgo asociado a la longevidad. Algunos de ellos son: el índice Credit Suisse, el índice JP Morgan con colaboración de LifeMetrics y el Xpect Data instaurado por la bolsa alemana, fundados entre 2005 y 2008.

Según Barrieu et al. (2010), el sector asegurador ha adoptado nuevas regulaciones desde la década del 2000 (v. g., Solvencia II) destinadas a garantizar una mayor precisión en la valoración de riesgos y normas más estrictas en la gestión del riesgo de solvencia. Por este motivo, es necesario disminuir o hacer desaparecer la asimetría entre los agentes del mercado. Así pues, es preciso descubrir metodologías personalizadas adaptables al mercado actual y a las necesidades personales del riesgo de longevidad.

Ventajas e inconvenientes del uso de los instrumentos de longevidad y de mortalidad

La literatura sobre el estudio de la mitigación del riesgo de longevidad y del riesgo de mortalidad ha proporcionado grandes ventajas en el mercado de capitales, aunque también algún inconveniente inherente que ha provocado la quiebra de alguno de los instrumentos, como el bono EIB-BNP Paribas que dejó de estar activo en 2005.

Los q-forward tienen un gran inconveniente: no es tarea sencilla estimar el número de supervivientes de un conjunto de población, el cual equivale al riesgo que cubre este instrumento (Blake et al., 2006).

En cuanto al mercado ILS o titulización vinculada a seguros, los beneficios son múltiples: se transfiere el riesgo, se alivia la tensión de capital y existe aceleración en las ganancias y en la velocidad de liquidación y duración (Bauer, Börger, & Russ, 2010).

Los Swaps de longevidad, en cambio, ofrecen una solución de cobertura del riesgo de longevidad más barata, en comparación con el reaseguro que, a pesar de ser la opción predominante en el mercado, es también la más costosa (Bravo y Vidal, 2021). Los Swaps de longevidad, además, tienen la ventaja de que eliminan el riesgo de longevidad sin la necesidad de un pago por adelantado y permiten que los fideicomisarios del plan de pensiones retengan el control de la asignación de activos (Blake et al., 2018a). En Zeddouk y Devolder (2019) se describe que los swaps de longevidad poseen unas características idóneas para cubrir el riesgo de longevidad, ya que son flexibles, sus costes son bajos, se adaptan a cada individuo y no requieren de un mercado líquido para funcionar.

En la Tabla 1 se muestra un resumen esquematizado de los instrumentos de longevidad y de mortalidad estudiados previamente y en la Tabla 2 se resumen la fecha, las partes implicadas, la cuantía, el vencimiento y el lugar de la primera emisión de los instrumentos más importantes estudiados en la Sección 3 de esta memoria.

Ajuste del modelo Lee-Carter con datos del INE

En la presente sección se explicará el proceso utilizado en el ajuste del modelo Lee-Carter.

1. El ajuste del modelo LC uni-factorial se realiza con las edades de 0 hasta 126 años (ω, infinito actuarial ³ ). Los datos del INE elegidos correspondían únicamente hasta 99 años, prescindiéndose del último dato que da el INE correspondiente a los 100 años o más para evitar distorsiones. Siguiendo a Atance (2020), ampliamos la curva hasta los 126 años con el método de Denuit y Goderniaux (2004).

2. Se calculan valores iniciales de ${\alpha }_x$ , ${\beta }_x$ y ${\kappa }_t$ para que converja el modelo según la función gnm del R.

3. Se hacen los siguientes cálculos para que el modelo LC cumpla las restricciones de ${\beta }_x$ y ${\kappa }_t$ explicadas en (9):

Siguiendo los pasos que determina el Dr. Atance en su tesis doctoral (2020), para cumplir con las restricciones de (9) se reemplazan los valores mediante:

${\hat{\beta }}_x=\frac{{\hat{\beta }}_x^{SVD}}{{\sum }_x{\hat{\beta }}_x^{SVD}}$ ,   

${\check{\kappa }}_x={\hat{\kappa }}_x^{SVD}·{\sum }_x{\hat{\beta }}_x$ .   

Teniendo en consideración que el parámetro $\hat{\beta }$ _x satisface la restricción (9), Lee y Carter (1992) sugieren reevaluar el parámetro ${\kappa }_t$ , utilizando sus valores iniciales para que sea igual al número real de muertes observadas, con el fin de evitar discrepancias entre la cantidad estimada y la real de fallecimientos. Por este motivo, ${\kappa }_t$ es ajustado nuevamente para que cumpla con la siguiente ecuación:

$D_t={\sum }_x\left(E_{x,t}^0\cdot \frac{exp\left({\check{\alpha }}_x+{\hat{\beta }}_x\cdot {\kappa }_t\right)}{1+exp\left({\check{\alpha }}_x+{\hat{\beta }}_x\cdot {\kappa }_t\right)}\right)$ ,

siendo $D_t={\sum }_x{D}_{x,t}$ , el número total de fallecimientos en el año t. Si $\tilde{\kappa }$ _t son las soluciones de $D_t$ , reescalamos ${\alpha }_x$ y ${\kappa }_t$ para satisfacer con las restricciones (9):

${\hat{\alpha }}_x={\check{\alpha }}_x+{\hat{\beta }}_x\cdot media\left({\tilde{\kappa }}_t\right)$ ,

${\hat{\kappa }}_t={\tilde{\kappa }}_t-media\left({\tilde{\kappa }}_t\right)$ .

4. Se generan los parámetros en una sola variable para hombres y mujeres mediante la función logit, mencionadas en (7) y (8) explicadas en la Sección 2.

A continuación, se realiza el proceso para la proyección de las $q_{x,t}$ , las cuales son las probabilidades de fallecimiento que se desean modelizar.

1. Se precisa de nuevo de la función logit con relación a la edad

2. Es necesaria una función que proyecte los valores de $q_{x,t}$ con el modelo LC, a partir de los siguientes parámetros:

• • Número de años para las que se quieren predicciones.Número de edades para las que se predice.

  • Cálculo de las predicciones

  • Número de años para las que se quieren predicciones.

3. Se proyecta el valor de la

4. Se muestran los Gráficos de los parámetros dependientes de la edad ( ${\alpha }_x$ y ${\beta }_x$ ) en los Gráficos 4a y 4b, respectivamente.

El parámetro $\alpha$ toma valores negativos hasta las edades de 100 y tiene un mínimo alrededor de los 10 años creciendo a partir de entonces y excepto en los primeros años es superior en hombres y mujeres. Se aprecia levemente el comportamiento de la joroba de mortalidad juvenil de los accidentes de automóviles alrededor de los 20 años. El parámetro $\beta$ , en cambio, toma valores positivos con un máximo alrededor de los 40 años decreciendo desde entonces.

5. Se explicita el Gráfico para hombres y mujeres del parámetro dependiente del tiempo, ${\kappa }_t$ , en el Gráfico 5 mediante los datos de 1994 hasta 2020 junto con una predicción hasta 2146 ⁴ . Asimismo, en el Gráfico 5b se plasma en un Gráfico los valores de ${\kappa }_t$ sin las predicciones haciendo zoom en los años 1994-2020.

La predicción tomará valores negativos y decrecientes. Y a partir de entonces es decreciente. El salto, en concreto, subida, del año 2020, es debido a que hemos incluido en el estudio, la mortalidad del año 2020 incrementada debida a la pandemia del Sars-Cov-2, comúnmente conocida como Covid-19. Sin embargo, observamos como las predicciones a futuro no se ven sustancialmente modificadas previéndose una caída sostenida para el parámetro ${\kappa }_t$ .

6. Por último, se proyectan los valores de la $q_{x,t}$ o probabilidad de fallecimiento para cada edad, $x$ y para cada año de predicciones, $t$ .

Probabilidades de fallecimiento a lo largo del eje temporal de tres edades distintas

Si se elige a un hombre que nació en 1955, en el 2020 (que equivale a $t=0$ ) tendrá 65 años y las probabilidades $q{h}_{65,t}$ son las que se corresponden con la función de color azul cian del Gráfico 6 (de $q{h}_{65,0}$ a $q{h}_{65,125}$ ). En cambio, si se eligiera a una mujer, iuris tantum, se correspondería según la función de color naranja (de $q{m}_{65,0}$ a $q{m}_{65,125}$ ), lo que significaría que, durante todo el periodo temporal (125 años) el sexo masculino tiene una probabilidad de fallecimiento superior al femenino. Aunque la diferencia entre ellos va disminuyendo, en ningún caso, en el periodo estudiado las mujeres igualarán sus probabilidades con la de los hombres.

De la misma forma, pero más abruptamente, se comportan las funciones de colores lila y rosa, las cuales corresponden con las probabilidades anuales de fallecimiento de un hombre y una mujer, respectivamente de 70 años a lo largo del eje temporal (desde $q_{70,0}$ hasta $q_{70,125}$ ), correspondiendo el año 0 al 2020. Se aprecia también cómo las probabilidades femeninas decrecen más lentamente que las masculinas. Además, las probabilidades de las mujeres una vez recorridos aproximadamente 80 años son parecidas a las probabilidades de fallecimiento de una persona del mismo sexo que nació 5 años después (función de color naranja).

Por último, se comentarán las probabilidades de fallecimiento de hombres y mujeres recién nacidos y su evolución a lo largo de 125 años (de $q_{0,0}$ a $q_{0,125}$ ). Sus funciones se corresponden con los colores azul marino y rojo, respectivamente. Siguen la misma tendencia a la baja que las anteriores probabilidades y aunque decrecen más levemente, el sexo masculino sigue teniendo un riesgo de fallecimiento superior al femenino, pero su evolución reacciona convergiendo con el sexo opuesto a los 70 años de edad, aproximadamente.

En todas las funciones de probabilidad se aprecia un crecimiento leve pero abrupto al inicio del Gráfico 6. Es notable este crecimiento cuanto mayor es la persona y dependiendo del sexo, teniendo en cuenta que en los hombres es más exagerado que en las mujeres. Este cambio de tendencia es debido a la estimación intrínseca del modelo LC mediante los datos extraídos del INE.

Diferencias de probabilidades de fallecimiento entre cohortes a los 65 años

Debido a que los Gráficos por cohortes son muy parecidos entre sí, se ha realizado el Gráfico 7 en el que se representan las diferencias entre 2 cohortes para hombres y mujeres en 2 años distintos.

La función de color azul marino representa la diferencia en la cohorte masculina de 65 años del 2070 respecto a la del 2020, en la que se empiezan a realizar las predicciones. En cambio, la función de color rojo hace referencia a la diferencia en la cohorte femenina, iuris tantum.

Por otro lado, la función de color azul cian alude a la diferencia en la cohorte masculina de 65 años del 2085 respecto a la del 2020. Análogamente, la función de color naranja señala la diferencia en la cohorte femenina, iuris tantum.

El Gráfico 7 sugiere las siguientes conclusiones:

• Todas las diferencias de probabilidades de fallecimiento son negativas.

• Todas las diferencias de probabilidades de fallecimiento empiezan y acaban en aproximadamente 0.

• Las diferencias de probabilidades de fallecimiento entre cohortes y sexos divergen de forma negativa a lo largo del periodo temporal hasta aproximadamente los 110 años, edad en la que la tendencia pasa a ser de convergencia y creciente.

• Las diferencias entre probabilidades son inferiores en los hombres hasta la edad de 105 años, aproximadamente. En ese momento, existe un cruce entre las funciones de ambos sexos. Este hecho se podría deber a la esperanza de vida, ya que la de las mujeres es superior respecto a los hombres, por lo que la probabilidad de fallecimiento femenina también será inferior en edades avanzadas (Debonneuil et al., 2017).

• A medida que la diferencia entre cohortes es mayor, el gap existente de las probabilidades de fallecimiento de hombres y mujeres en cualquier intervalo de tiempo, pero, sobre todo, entre los 100 y los 115 años de edad, también aumenta.

En resumen, existirá una diferencia menor (en valor absoluto) entre cohortes si el sector estudiado es femenino y se encuentra dentro del intervalo de [65 − 105] años de edad. A partir de los 105 años las probabilidades se reducen y convergen hasta llegar aproximadamente al punto de partida, 0.

Modelo estocástico de mortalidad

La probabilidad de supervivencia a los 65 años, $t{p}_{65}$ , describe la distribución de un conjunto de supervivencia simulada de hombres y mujeres de 65 hasta los 125 años. En los Gráficos 8a, 8b y 8c se representan tres Gráficos estocásticos de la $t{p}_{65}$ : la media, la desviación estándar y la asimetría de hombres y mujeres mediante 10000 simulaciones pseudoaleatorias. El resultado es pseudoaleatorio, ya que la herramienta utilizada para el desarrollo de los Gráficos ha sido el R, al cual se le ha indicado que genere simulaciones a partir de una semilla fijada.

A partir de los Gráficos 8a, 8b y 8c, es discernible un comportamiento decreciente en la mortalidad. Incluso se detecta una supervivencia distinta entre ambos sexos. Por ejemplo, en el Gráfico 8a existe un gap en las primeras 40 edades simuladas, el cual va disminuyendo hasta converger en 0 a la edad de 105 años, aproximadamente. A partir de esa edad, la supervivencia es prácticamente nula. Del Gráfico 8b emana el riesgo o la volatilidad de las probabilidades de supervivencia de hombres y mujeres. En ella se exhibe una forma de joroba, lo que significa que la incertidumbre en un horizonte a largo plazo (aproximadamente de unos 40 años) primero aumenta y luego disminuye. Asimismo, tanto en el Gráfico 8b como en el Gráfico 8c se observa que la distribución simulada es asimétrica, ya que las probabilidades de supervivencia, $t{p}_{65}$ no se acercan a 0. Es más, se podría considerar asimétrico por la derecha, debido a que los datos extremos son considerablemente positivos en relación con el resto de los datos.

En el presente artículo se han utilizado datos del INE desde 1994 hasta 2020, incluyendo este último año, a pesar de ser conscientes de que las proyecciones recogen el efecto producido por la Covid-19.

Utilidad del Consumo con Aversión Absoluta al Riesgo Constante (CARA Utility

En la función de utilidad CARA se asume que el vendedor tiene una utilidad de aversión absoluta al riesgo constante. Es decir,

$U\left(\omega \right)=\frac{1}{\overline{\alpha }}\cdot \left(1-e^{-\overline{\alpha }\cdot \omega }\right)$ ,    (12)

$U\left(\omega \right)=-\frac{1}{\overline{\alpha }}\cdot e^{-\overline{\alpha }\cdot \omega }$ .   (13)

Sustituyendo (13) en (11) se obtiene la expresión del recargo Mínimo a incluir en la prima, $P^{-}$ :

$P^{-}=\frac{1}{\overline{\alpha }}\cdot lnE\left(e^{\overline{\alpha }\cdot \left(S_t-E\left(S_t\right]\right)}\right]$ .   (14)

El resultado obtenido se corresponde con la conocida prima de riesgo exponencial como criterio en el cálculo de primas de un seguro (Kaas et al., 2009). En este caso, la prima no se ve afectada por la riqueza del vendedor. Desarrollando (14):

$=\frac{1}{\overline{\alpha }}\cdot ln\left(M_{S_t}\left(\overline{\alpha }\right)\right]-E\left(S_t\right]$ ,   (15)

siendo, $M_{S_t}\left(\overline{\alpha }\right)=E\left(e^{\overline{\alpha }\cdot S_t}\right]$ la función generatriz de momentos de la variable aleatoria $S_t$ en el punto $\alpha$ . Así, si conocemos la distribución de la variable aleatoria $S_t$ y su función generatriz de momentos, (15) nos proporciona una expresión explícita para el recargo Mínimo a incluir en la prima.

Utilidad de la Aversión al Riesgo Relativa Constante (CRRA Utility

En la utilidad CRRA, el vendedor tiene una utilidad de aversión relativa al riesgo constante denominada utilidad isoelástica. Id est,

$U\left(w\right)=\frac{w^{1-\gamma }}{1-\gamma }$ ,   (16)

siendo el parámetro $\gamma$ no negativo, el cual mide el grado de aversión al riesgo relativo que está implícito en la función de utilidad (Geweke, 2001; Gollier, 2003). El recargo Mínimo $P^{-}$ es el que se obtiene sustituyendo (16) en (11). Así,

$E\left({\left(1+\frac{E\left(S_t\right]+P^{-}-S_t}{{\omega }_t}\right)}^{1-\gamma }\right]=1$ .   (17)

Existen dos diferencias con ambas funciones de utilidad:

• Aplicando la CRRA, el recargo incluido en la prima, $P^{-}$ , depende de la riqueza, ${\omega }_t$ .

• Además, no existe expresión explícita para dicho recargo y se calcula normalmente mediante simulación.

En la Sección 6 se encontrarán el recargo Mínimo incluido en la prima (6.1) y el precio y cantidad óptimas de un bono cupón cero a través de ambas funciones de utilidad CARA y CRRA (6.2).

Análisis del recargo Mínimo incluido en la prima, $P^{-}$ , de un bono cupón cero mediante las funciones de utilidad CARA y CRRA

En la presente sección se ahonda en el recargo Mínimo incluido en la prima, $P^{-}$ y será expresado en términos de la prima de riesgo, $R_p$ , la cual es una tasa de descuento por encima de la tasa libre de riesgo (y que se supondrá que es 0) y una tasa de descuento actuarial, $R_a$ , a partir de la siguiente relación de Cui (2008):

donde la tasa de descuento actuarial, R_a, se define como

siendo,

• $N$ : el tamaño de la cohorte estudiada.

• $E{[}_t{p}_x]$ : el valor esperado de la probabilidad de supervivencia a la edad $x$ . En la Tabla 3 se han realizado los cálculos en base a $x = 65$ .

Tomando como base los datos de la $t{p}_{65}$ de la Sección 4.4 se determina el recargo Mínimo incluido en la prima del bono cupón cero a partir de siete vencimientos distintos y tres tamaños de cohortes diferentes múltiplos de 10. Además, se utilizan dos funciones de utilidad distintas, la CARA con $\alpha = 3$ y la CRRA con $\gamma = 5$ y riqueza ${\omega }_0={\omega }_t=100$ .

Los valores de las variables se han escogido teniendo en consideración el artículo de Cui (2008).

Antes de presentar la Tabla 3 de la prima de riesgo, $R_p$ , hay que matizar que se ha necesitado realizar un cálculo previo del recargo Mínimo incluido en la prima, $P^{-}$ , de la función de utilidad CRRA a partir de la función uniroot del R. Los valores expulsados han sido 0,6986071 y 0,6387215, para hombres y mujeres, respectivamente. También hay que indicar que, para un valor de aversión al riesgo de $CARA\left(\alpha =3\right)$ se obtienen los mismos resultados hasta el sexto decimal que para un valor de aversión al riesgo de $CRRA\left(\gamma =5\right)$ . Por este motivo, se ha decidido aproximar a dos decimales la Tabla 3, ya que los resultados son prácticamente idénticos en ambas funciones de utilidad. Esta coincidencia no era un resultado esperado a priori, ya que no corresponde a una justificación teórica.

Las conclues extraídas de este bono con datos españoles son las siguientes (Cui, 2008):

1. La tasa de descuento adicional $R_p$ aumenta a medida que aumenta el tamaño del riesgo.

2. Cuanto mayor sea la aversión al riesgo del asegurador, mayor será la compensación requerida

3. En el presente ejemplo, cuanto mayor sea el vencimiento, menor será la compensación requerida por el bono cupón cero, al contrario que la conclusión que se indicaba en Cui (2008) en la mayoría de las situaciones. La principal razón de la divergencia se debe a que los datos de mortalidad en que se basa nuestro ejemplo son muy distintos, ya que corresponden a diferentes países y diferentes años.

Análisis del óptimo de equilibrio de un bono cupón cero mediante las funciones de utilidad CARA y CRRA

Desde la presente sección hasta el final se modelará un bono vinculado a la longevidad o a la mortalidad (MLS) efectuado entre dos Agentes económicos: A y B (Leung et al., 2018; Zhou et al., 2015).

• El Agente A tendrá consideración de entidad financiera o aseguradora y el Agente B será representado por un inversor o fondo de pensiones que compra el instrumento a cambio de una posible prima en el vencimiento ( $t = 1$ ) de la operación (Cui, 2008).

• El Agente A tiene en su pasivo la contingencia de mortalidad o longevidad. Para resolverlo, planea vender un bono MLS o valor vinculado a la mortalidad con vencimiento a un año al Agente B con el fin de cubrir parcialmente el riesgo de vivir más de lo esperado (longevidad) o menos de lo calculado (mortalidad). Las características de estos bonos se detallan en la Sección 3.3.

• El enfoque utilizado se denomina tâtonnement o de tanteo walrasiano, en el que el precio de equilibrio es determinado por el propio enfoque entre oferta y demanda en base a las funciones de utilidad de A y de B.

La cantidad monetaria asociada al riesgo que tiene el plan de pensiones se denotará por $f\left(q_1\right)=10\times p_{65}$ . Es por ello por lo que resulta ser una función determinista de $q_1$ , representando el índice de supervivencia español a un año cuando 10 asegurados tienen 65 años en el 2020, $p_{65}$ . En cambio, en $t = 0$ , $q_1$ no se conoce y se rige por un proceso estocástico subyacente.

Para mitigar su exposición al riesgo de longevidad, el Agente A vende un bono con vencimiento a un año. El pago de una unidad de este valor en el tiempo 1 es otra función determinista de $q_1$ , $g\left(q_1\right)=\frac{P_0}{p_{65}}$ , siendo,

• P₀ el precio inicial de la operación en $t = 0$ . Este precio se irá modificando en función de las características del bono de 0,1 a 6 aumentando cada simulación en 0,1.

• $r$ el tipo de interés de mercado. En el ejercicio se fijará, $r = 5 \%$ .

• $p_{65}$ el índice de longevidad español en el año 2020, $q_1$ .

Es decir, A vende el MLS a B a cambio de $g\left(q_1\right)$ en $t = 1$ , mientras que B paga $P_0$ en $t = 0$ por la compra del bono a cambio de un beneficio esperado futuro.

Siguiendo el proceso de tâtonnement, se supondrá que un subastador imaginario indica un precio arbitrario al comienzo de la operación, $P_0=0,1$ . Fijado este precio, los Agentes A y B deciden entonces su oferta, ${\theta }^A$ y su demanda, ${\theta }^B$ del MLS, respectivamente. Sus elecciones se basarán, siguiendo Zhou et al. (2015), en que los agentes elegirán los valores que maximizarán sus utilidades marginales esperadas.

Las riquezas iniciales de los agentes son ${\omega }_A=100$ y ${\omega }_B=100$ . Asimismo, se asume que esta riqueza inicial solo se puede invertir en el MLS o en una cuenta bancaria que genera una capitalización continua con un tipo de interés libre de riesgo de $r = 0,05$ por año. Los agentes solo ingresarán dinero a partir de la cuenta bancaria, del MLS y del pasivo contingente de vida.

Las funciones de utilidad se denotan por U. En la presente sección se seguirán (13) y (16), las cuales se basan en las Utilidades CARA y CRRA, respectivamente.

Asimismo, el enfoque de tâtonnement hace 2 supuestos adicionales:

• Comprador y vendedor son completamente racionales, lo que significa que solo buscan obtener ganancias a través de su función de utilidad y no están interesados en la especulación a largo plazo.

• En algunos escenarios puede no haber equilibrio, es decir, la demanda de B y la oferta de A puede divergir.

Los parámetros de aversión al riesgo, ( $k_A,k_B$ ) miden cuán adverso u hostil al riesgo es cada uno de los jugadores, agentes o participantes en el mercado. Si ese valor es positivo, será muy adverso; en cambio, si es negativo, será más amante al riesgo. Encontrar estos parámetros no es tarea fácil. Hay diferentes artículos que utilizan un valor concreto para este valor de aversión al riesgo. Leung et al. (2018), por ejemplo, siguiendo un algoritmo parecido al de la presente sección, resumen y explican un método matemático posible para su determinación a través de un algoritmo.

Se asume que el bono se vende, por lo que en $t = 1$ , la cartera de B contiene el riesgo de longevidad transferido por el Agente A.

En consecuencia,

• En $t = 0$ , A vende ${\theta }^A$ unidades del MLS y deposita los ingresos en la cuenta bancaria junto con ${\omega }_A$ (su riqueza inicial). Análogamente, B utiliza ${\omega }_B$ para comprar ${\theta }^B$ unidades del MLS y deposita el resto en otra cuenta bancaria.

• En $t = 1$ , la riqueza final de A es la cantidad ingresada en la cuenta menos el pago del MLS y su responsabilidad contingente de vida (ver (20)), mientras que la del B son los ingresos en su cuenta más el pago del MLS vendido por A (ver (21)).

• La riqueza se acumula a lo largo del tiempo y devenga una tasa $r$ en cada periodo.

Por consiguiente, en $t = 0$ , A y B eligen aquella $\theta$ (oferta y demanda) del bono que maximiza su utilidad final esperada. La oferta que maximizará la función de utilidad para A en $t = T = 1$ será ${\theta }^A$ . De forma similar, la demanda ${\theta }^B$ será la que maximizará la función de utilidad de B. Su notación es la siguiente (Zhou et al., 2015):

Se ha de tener en cuenta que ${\theta }^A$ y ${\theta }^B$ son funciones del precio $P$ . Se suprimirá el argumento de estas funciones por simplicidad.

Con la función de utilidad CARA, $\hat{\alpha }=0,75$ . En cambio, con la función de utilidad CRRA, $\hat{\gamma }=2$ .

Otros productos que podrían ser valorados mediante simulación son los siguientes: including zeros, bonos EIB/BNP, swaps, caps, floors, bonos de longevidad diferida y cobertura natural (Cui, 2008).

Usualmente el precio establecido inicialmente no ajusta a los agentes de mercado. Es por ello por lo que se ha de ajustar. Si la demanda excede la oferta (es decir, ${\theta }^B-{\theta }^A>0$ ), el precio debe aumentar, y viceversa. Supondremos que el subastador ajusta el precio de una manera lineal al exceso de demanda. Siguiendo a Uzawa (1960); Katzner (1999); Kitti (2010), se expresará la $\left(k+1\right)ésima$ actualización del precio como:

$P_{k+1}=P_k+\lambda \left(P_k\right|\left({\theta }_B-{\theta }_A\right), k=0,1,2,\dots$ ,   (22)

donde,

• $P_0$ es la suposición inicial del precio.

• $P_{k+1}$ tomará valores desde 0,1 hasta 6 con saltos de 0,1.

• $\lambda$ es una constante real positiva.

El precio del bono que establece ${\theta }^A={\theta }^B$ será el precio del bono modelo.

Además, Zhou et al. (2015) advierte 2 elementos para tener en cuenta:

• La riqueza inicial de los jugadores es independiente del precio final debido a la elección de la función de utilidad exponencial (CRRA).

• $\lambda$ establece la velocidad de convergencia:

• Si $\lambda$ es grande, el precio fluctuaría demasiado lejos del precio de equilibrio, P. De este modo, ${\theta }^A$ y ${\theta }^B$ tenderían a infinito y se perdería el equilibrio.

• Si $\lambda$ es pequeña, tardará demasiado en producirse la convergencia, ya que el proceso de ajuste sería lento.

• Por estas razones, ha de haber equilibrio entre velocidad y precisión. Por tanto, se ha elegido una $\lambda = 0,01$ , en un inicio, en este ejemplo.

En resumen, el proceso de tâtonnement para fijar el precio de un valor vinculado a la mortalidad o MLS puede ser llevado a cabo por el siguiente algoritmo:

1. Establecer un precio $P_0$

2. Determinar la oferta, ${\theta }^A$ y la demanda, ${\theta }^B$ con la optimización especificada en (20) y (21), respectivamente.

Si ${\theta }^A$ = ${\theta }^B$ , stop De lo contrario, ajustar el precio usando (22)

Repetir los pasos 2 y 3 hasta hallar que Si ${\theta }^A$ = ${\theta }^B$ .

Finalmente, sea $P^{*}$ el precio que finaliza el algoritmo. Hay dos posibles situaciones que se pueden obtener:

• $P^{*}>0$ y ${\theta }^A={\theta }^B={\theta }^{*}$ , lo que significa que el mercado alcanza equilibrio y el intercambio se produce entre los agentes económicos.

• Sin embargo, tal como se matiza en el artículo deZhou et al. (2015) hubiera sido factible que no se hubiera producido intercambio entre los agentes o incluso que se hubiera producido un intercambio múltiple entre cantidades de oferta y demanda. El segundo caso se produjo cambiando el $\lambda$ original de $0,01$ , cuando lo variamos a $\lambda = 0,1$ en el sector masculino de la función de utilidad CARA.

Variantes de los precios y cantidades óptimas del bono

En la presente sección se muestra de forma resumida en la Tabla 4 las variantes a las variables originales del cálculo del precio del previo bono, dependiendo de la función de utilidad escogida, CARA o CRRA y de si se trata de hombres o de mujeres. Además, en la primera fila de esta se encuentran los resultados correspondientes a los valores originales de las variables, los cuales se recogen en la primera columna.

Cada variante se realizará iuris tantum, es decir, permaneciendo invariables el resto de los argumentos y volviendo al código original salvo por el cambio que se esté realizando ⁵ . Siendo,

• ${\theta }^{*}$ la cantidad óptima, donde ${\theta }^A={\theta }^B={\theta }^{*}$ .

• $P^{*}$ el precio óptimo.

• $r$ es el tipo de interés.

• $P_0$ es el primer precio que tiene en cuenta el algoritmo de optimización recursivo.

• ${\omega }_A={\omega }_B$ son la riqueza inicial de la oferta y de la demanda, respectivamente.

• $\lambda$ establece la velocidad de convergencia del precio recursivo.

• (D): Indica que el óptimo es discreto, como ocurre en la mayoría de los casos que se detallan en la Tabla 4.

• (C): Indica que el óptimo es continuo, id est, el que expulsa el algoritmo, tal como ocurre en los siguientes casos:

• La variante en que $\lambda = 0,1$ para hombres en la función de utilidad CARA presenta dos óptimos.

• En el caso de la variante $\gamma = 5$ para la función de utilidad CRRA para hombres la solución óptima da un solo óptimo, el cual no se puede mostrar gráficamente.

• (N): Indica que el óptimo da un precio negativo. Es decir, económicamente no tiene sentido, por lo que en esta variante no hay intercambio entre las cantidades de oferta y de demanda.

• α es el coeficiente de aversión al riesgo absoluto del vendedor de la función de utilidad CARA.

• $\gamma$ es el coeficiente de aversión al riesgo relativo del vendedor en la función CRRA.

• $n_p$ son el número de precios por los que pasa el algoritmo de recursión de búsqueda del óptimo de las cantidades.

• $nsimul$ son el número de simulaciones presentadas en el mismo algoritmo.

• $lower$ es el límite inferior interno del algoritmo de optimización.

• $upper$ es el límite superior interno del algoritmo de optimización.

Análisis de sensibilidad de la Tabla 4

Para finalizar se analizarán brevemente las conclusiones que se manifiestan de la Tabla 4, en la que se muestran los precios y las cantidades óptimas o de equilibrio para el modelo original escogido y para cada una de sus variantes en sus modalidades de género (Hombre o Mujer) y de función de utilidad (CARA o CRRA).

• En la Utilidad CARA el óptimo original reside en $50 unidades$ y $0,137 unidades monetarias \left(en adelante,€\right)$ para hombres y $50 unidades$ y $0,075 €$ para mujeres. En cambio, en la Utilidad CRRA el óptimo original resulta de $61,2 unidades$ y $0,117 €$ para hombres y $50 unidades$ y $0,075 €$ para mujeres.

• Se realizan 9 variantes para cada una de las cuatro utilidades que se proponen. Los resultados obtenidos son dispersos, dependiendo de qué variable actúe.

• Si se varía al alza el tipo de interés, $r$ , la cantidad permanece invariante, pero el precio disminuye en todas las posibilidades.

• Al aumentar el precio inicial, $P_0$ , el precio óptimo final se incrementa, pero la cantidad óptima o bien se mantiene constante o bien disminuye.

• Incrementando la riqueza inicial, ${\omega }_A={\omega }_B$ , la cantidad y precio óptimos permanecen invariantes o aumentan ligeramente.

• En la modificación del parámetro de velocidad de convergencia del precio óptimo, λ, se producen tres conclusiones distintas, dependiendo del sexo y de la utilidad escogida. En este análisis se ha producido un incremento de la variable.

• En el sector femenino el algoritmo a través de los datos proporcionados no ha podido conseguir el óptimo deseado. En la Tabla 4 se denota con (N) de Negativo. Como no pueden existir precios negativos no se produce intercambio entre los agentes económicos.

• En la función de utilidad CARA para hombres el algoritmo de optimización ha encontrado una solución. En la mencionada tabla se denota como (C) de Continua, ya que mediante cálculos internos expulsa la solución que considera más adecuada con los parámetros o variables consideradas. La solución es: $100 unidades$ y $51,285 €$ , muy superiores al original. Es decir, el óptimo corresponde a la cantidad Máxima considerada en el código interno, que es $100$ . Adicionalmente, mediante la observación directa es posible la extracción de un segundo óptimo. Este caso se plasma a través de (D) de Discreta, y se corresponde con $38,2 unidades$ y $0,718 €$ , cantidad menor y precio mayor al original.

• Existe un tercer caso al variar el parámetro $\lambda$ : una disminución de la cantidad óptima y un aumento de su precio, correspondiente con la función de utilidad CRRA para hombres.

•

• En cambio, hacer crecer en un $250 \%$ el parámetro de aversión al riesgo relativo del vendedor, $\gamma$ , para la función de utilidad CRRA genera la creación de óptimos continuos, es decir, a través del algoritmo de optimización. Para los hombres la cantidad óptima es la Máxima permitida por el programa, $100 unidades$ , y su precio es parecido al del modelo original, $0,1 €$ . Análogamente, para las mujeres, su cantidad óptima es la Mínima permitida intrínsecamente para que se produzca intercambio, $0,1 unidades$ , aunque a precio aproximadamente $0$ . Es decir, se ha de regalar lo poco que se intercambia.

• Aumentando el número de precios posibles en los que producirse el intercambio del bono, $np de 30 a 50$ , solamente se ha modificado el precio un céntimo menos de la función de utilidad CRRA para hombres, quedando las otras $3 utilidades$ invariantes.

• Haciendo el mismo análisis, han permanecido constantes cantidad y precio en las cuatro modalidades al disminuir a la mitad el número de simulaciones ( $nsimul$ ) necesarias para la obtención del intercambio de este bono MLS. Este fenómeno y el anterior se pueden explicar debido a los topes impuestos desde un inicio a la generación del bono y a la imposición inicial de las variables sin más recursos que la prueba y error. De ahí el nombre del método utilizado: tâtonnement o de tanteo. Por este motivo también se ha decidido cambiar dos de los parámetros internos del algoritmo de optimización de las cantidades de oferta (A) y de demanda (B).

• Al incrementar en un $25 \%$ el tope inferior o $lower$ del algoritmo, las cantidades aumentan en la misma proporción. En cambio, los precios de los hombres disminuyen entre 2 y 3 céntimos del modelo original en ambas utilidades, y los de las mujeres aumentan en la misma cantidad.

• Haciendo el paralelismo con la modificación anterior, al incrementar en un $50 \%$ el parámetro superior o $upper$ del algoritmo de optimización de las cantidades, las mismas tienen un crecimiento lineal con el correspondiente incremento. El mismo análisis con los precios que en la anterior variante se puede aplicar en la presente: suben ligeramente en las mujeres y proporcionalmente disminuyen en los hombres.